-b+c-4*d=-4 -2*a+3*b-9*c-22*d=10 3*a-b+13*c+22*d=2 2*a-3*b+c-12*d=-14
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
-b + c - 4*d = -4
$$- 4 d + - b + c = -4$$
-2*a + 3*b - 9*c - 22*d = 10
$$- 22 d + - 9 c + - 2 a + 3 b = 10$$
3*a - b + 13*c + 22*d = 2
$$22 d + 13 c + 3 a - b = 2$$
2*a - 3*b + c - 12*d = -14
$$- 12 d + c + 2 a - 3 b = -14$$
Быстрый ответ
[LaTeX]
$$c_{1} = \frac{101}{151}$$
=
$$\frac{101}{151}$$
=
$$b_{1} = \frac{729}{151}$$
=
$$\frac{729}{151}$$
=
$$a_{1} = - \frac{50}{151}$$
=
$$- \frac{50}{151}$$
=
$$d_{1} = - \frac{6}{151}$$
=
$$- \frac{6}{151}$$
=
=
$$\frac{101}{151}$$
=
0.66887417218543
$$b_{1} = \frac{729}{151}$$
=
$$\frac{729}{151}$$
=
4.82781456953642
$$a_{1} = - \frac{50}{151}$$
=
$$- \frac{50}{151}$$
=
-0.33112582781457
$$d_{1} = - \frac{6}{151}$$
=
$$- \frac{6}{151}$$
=
-0.0397350993377483
Метод Крамера
[LaTeX]
$$- 4 d + - b + c = -4$$
$$- 22 d + - 9 c + - 2 a + 3 b = 10$$
$$22 d + 13 c + 3 a - b = 2$$
$$- 12 d + c + 2 a - 3 b = -14$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- b + c - 4 d = -4$$
$$- 2 a + 3 b - 9 c - 22 d = 10$$
$$3 a - b + 13 c + 22 d = 2$$
$$2 a - 3 b + c - 12 d = -14$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 4 x_{4} + x_{3} + 0 x_{1} - x_{2}\\- 22 x_{4} + - 9 x_{3} + - 2 x_{1} + 3 x_{2}\\22 x_{4} + 13 x_{3} + 3 x_{1} - x_{2}\\- 12 x_{4} + x_{3} + 2 x_{1} - 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-4\\10\\2\\-14\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & -4\\-2 & 3 & -9 & -22\\3 & -1 & 13 & 22\\2 & -3 & 1 & -12\end{matrix}\right] \right )} = 604$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{604} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-4 & -1 & 1 & -4\\10 & 3 & -9 & -22\\2 & -1 & 13 & 22\\-14 & -3 & 1 & -12\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{50}{151}$$
$$x_{2} = \frac{1}{604} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & -4 & 1 & -4\\-2 & 10 & -9 & -22\\3 & 2 & 13 & 22\\2 & -14 & 1 & -12\end{matrix}\right] \right )} = \frac{729}{151}$$
$$x_{3} = \frac{1}{604} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & -1 & -4 & -4\\-2 & 3 & 10 & -22\\3 & -1 & 2 & 22\\2 & -3 & -14 & -12\end{matrix}\right] \right )} = \frac{101}{151}$$
$$x_{4} = \frac{1}{604} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & -4\\-2 & 3 & -9 & 10\\3 & -1 & 13 & 2\\2 & -3 & 1 & -14\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{6}{151}$$
$$- 22 d + - 9 c + - 2 a + 3 b = 10$$
$$22 d + 13 c + 3 a - b = 2$$
$$- 12 d + c + 2 a - 3 b = -14$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- b + c - 4 d = -4$$
$$- 2 a + 3 b - 9 c - 22 d = 10$$
$$3 a - b + 13 c + 22 d = 2$$
$$2 a - 3 b + c - 12 d = -14$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 4 x_{4} + x_{3} + 0 x_{1} - x_{2}\\- 22 x_{4} + - 9 x_{3} + - 2 x_{1} + 3 x_{2}\\22 x_{4} + 13 x_{3} + 3 x_{1} - x_{2}\\- 12 x_{4} + x_{3} + 2 x_{1} - 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-4\\10\\2\\-14\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & -4\\-2 & 3 & -9 & -22\\3 & -1 & 13 & 22\\2 & -3 & 1 & -12\end{matrix}\right] \right )} = 604$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{604} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-4 & -1 & 1 & -4\\10 & 3 & -9 & -22\\2 & -1 & 13 & 22\\-14 & -3 & 1 & -12\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{50}{151}$$
$$x_{2} = \frac{1}{604} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & -4 & 1 & -4\\-2 & 10 & -9 & -22\\3 & 2 & 13 & 22\\2 & -14 & 1 & -12\end{matrix}\right] \right )} = \frac{729}{151}$$
$$x_{3} = \frac{1}{604} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & -1 & -4 & -4\\-2 & 3 & 10 & -22\\3 & -1 & 2 & 22\\2 & -3 & -14 & -12\end{matrix}\right] \right )} = \frac{101}{151}$$
$$x_{4} = \frac{1}{604} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & -4\\-2 & 3 & -9 & 10\\3 & -1 & 13 & 2\\2 & -3 & 1 & -14\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{6}{151}$$
Метод Гаусса
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$- 4 d + - b + c = -4$$
$$- 22 d + - 9 c + - 2 a + 3 b = 10$$
$$22 d + 13 c + 3 a - b = 2$$
$$- 12 d + c + 2 a - 3 b = -14$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- b + c - 4 d = -4$$
$$- 2 a + 3 b - 9 c - 22 d = 10$$
$$3 a - b + 13 c + 22 d = 2$$
$$2 a - 3 b + c - 12 d = -14$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & -4 & -4\\-2 & 3 & -9 & -22 & 10\\3 & -1 & 13 & 22 & 2\\2 & -3 & 1 & -12 & -14\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\-2\\3\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-2 & 3 & -9 & -22 & 10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 - - \frac{9}{2} & - \frac{27}{2} + 13 & -11 & 17\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} & -11 & 17\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & -4 & -4\\-2 & 3 & -9 & -22 & 10\\0 & \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} & -11 & 17\\2 & -3 & 1 & -12 & -14\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -8 & -34 & -4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -8 & -34 & -4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & -4 & -4\\-2 & 3 & -9 & -22 & 10\\0 & \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} & -11 & 17\\0 & 0 & -8 & -34 & -4\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\3\\\frac{7}{2}\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & -4 & -4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & -6 & -34 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & -6 & -34 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & -4 & -4\\-2 & 0 & -6 & -34 & -2\\0 & \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} & -11 & 17\\0 & 0 & -8 & -34 & -4\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} + \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} - - \frac{7}{2} & -25 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & -25 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & -4 & -4\\-2 & 0 & -6 & -34 & -2\\0 & 0 & 3 & -25 & 3\\0 & 0 & -8 & -34 & -4\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-6\\3\\-8\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & -25 & 3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -4 - - \frac{25}{3} & -5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & \frac{13}{3} & -5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & \frac{13}{3} & -5\\-2 & 0 & -6 & -34 & -2\\0 & 0 & 3 & -25 & 3\\0 & 0 & -8 & -34 & -4\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & -84 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & -84 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & \frac{13}{3} & -5\\-2 & 0 & 0 & -84 & 4\\0 & 0 & 3 & -25 & 3\\0 & 0 & -8 & -34 & -4\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & - \frac{200}{3} - 34 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & - \frac{302}{3} & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & \frac{13}{3} & -5\\-2 & 0 & 0 & -84 & 4\\0 & 0 & 3 & -25 & 3\\0 & 0 & 0 & - \frac{302}{3} & 4\end{matrix}\right]$$
В 4 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{13}{3}\\-84\\-25\\- \frac{302}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 4 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & - \frac{302}{3} & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & - \frac{13}{3} + \frac{13}{3} & -5 - - \frac{26}{151}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & 0 & - \frac{729}{151}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & 0 & - \frac{729}{151}\\-2 & 0 & 0 & -84 & 4\\0 & 0 & 3 & -25 & 3\\0 & 0 & 0 & - \frac{302}{3} & 4\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & 0 & - \frac{504}{151} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & 0 & \frac{100}{151}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & 0 & - \frac{729}{151}\\-2 & 0 & 0 & 0 & \frac{100}{151}\\0 & 0 & 3 & -25 & 3\\0 & 0 & 0 & - \frac{302}{3} & 4\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & 0 & - \frac{150}{151} + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & 0 & \frac{303}{151}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & 0 & - \frac{729}{151}\\-2 & 0 & 0 & 0 & \frac{100}{151}\\0 & 0 & 3 & 0 & \frac{303}{151}\\0 & 0 & 0 & - \frac{302}{3} & 4\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- x_{2} + \frac{729}{151} = 0$$
$$- 2 x_{1} - \frac{100}{151} = 0$$
$$3 x_{3} - \frac{303}{151} = 0$$
$$- \frac{302 x_{4}}{3} - 4 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = \frac{729}{151}$$
$$x_{1} = - \frac{50}{151}$$
$$x_{3} = \frac{101}{151}$$
$$x_{4} = - \frac{6}{151}$$
$$- 4 d + - b + c = -4$$
$$- 22 d + - 9 c + - 2 a + 3 b = 10$$
$$22 d + 13 c + 3 a - b = 2$$
$$- 12 d + c + 2 a - 3 b = -14$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- b + c - 4 d = -4$$
$$- 2 a + 3 b - 9 c - 22 d = 10$$
$$3 a - b + 13 c + 22 d = 2$$
$$2 a - 3 b + c - 12 d = -14$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & -4 & -4\\-2 & 3 & -9 & -22 & 10\\3 & -1 & 13 & 22 & 2\\2 & -3 & 1 & -12 & -14\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}0\\-2\\3\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}-2 & 3 & -9 & -22 & 10\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 - - \frac{9}{2} & - \frac{27}{2} + 13 & -11 & 17\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} & -11 & 17\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & -4 & -4\\-2 & 3 & -9 & -22 & 10\\0 & \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} & -11 & 17\\2 & -3 & 1 & -12 & -14\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & -8 & -34 & -4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & -8 & -34 & -4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & -4 & -4\\-2 & 3 & -9 & -22 & 10\\0 & \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} & -11 & 17\\0 & 0 & -8 & -34 & -4\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-1\\3\\\frac{7}{2}\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & -4 & -4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & -6 & -34 & -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & -6 & -34 & -2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & -4 & -4\\-2 & 0 & -6 & -34 & -2\\0 & \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} & -11 & 17\\0 & 0 & -8 & -34 & -4\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} + \frac{7}{2} & - \frac{1}{2} - - \frac{7}{2} & -25 & 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & -25 & 3\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 1 & -4 & -4\\-2 & 0 & -6 & -34 & -2\\0 & 0 & 3 & -25 & 3\\0 & 0 & -8 & -34 & -4\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-6\\3\\-8\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & -25 & 3\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & -4 - - \frac{25}{3} & -5\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & \frac{13}{3} & -5\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & \frac{13}{3} & -5\\-2 & 0 & -6 & -34 & -2\\0 & 0 & 3 & -25 & 3\\0 & 0 & -8 & -34 & -4\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & -84 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & -84 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & \frac{13}{3} & -5\\-2 & 0 & 0 & -84 & 4\\0 & 0 & 3 & -25 & 3\\0 & 0 & -8 & -34 & -4\end{matrix}\right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & - \frac{200}{3} - 34 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & - \frac{302}{3} & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & \frac{13}{3} & -5\\-2 & 0 & 0 & -84 & 4\\0 & 0 & 3 & -25 & 3\\0 & 0 & 0 & - \frac{302}{3} & 4\end{matrix}\right]$$
В 4 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{13}{3}\\-84\\-25\\- \frac{302}{3}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 4 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & - \frac{302}{3} & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & - \frac{13}{3} + \frac{13}{3} & -5 - - \frac{26}{151}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & 0 & - \frac{729}{151}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & 0 & - \frac{729}{151}\\-2 & 0 & 0 & -84 & 4\\0 & 0 & 3 & -25 & 3\\0 & 0 & 0 & - \frac{302}{3} & 4\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & 0 & - \frac{504}{151} + 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-2 & 0 & 0 & 0 & \frac{100}{151}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & 0 & - \frac{729}{151}\\-2 & 0 & 0 & 0 & \frac{100}{151}\\0 & 0 & 3 & -25 & 3\\0 & 0 & 0 & - \frac{302}{3} & 4\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & 0 & - \frac{150}{151} + 3\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 3 & 0 & \frac{303}{151}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0 & 0 & - \frac{729}{151}\\-2 & 0 & 0 & 0 & \frac{100}{151}\\0 & 0 & 3 & 0 & \frac{303}{151}\\0 & 0 & 0 & - \frac{302}{3} & 4\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- x_{2} + \frac{729}{151} = 0$$
$$- 2 x_{1} - \frac{100}{151} = 0$$
$$3 x_{3} - \frac{303}{151} = 0$$
$$- \frac{302 x_{4}}{3} - 4 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = \frac{729}{151}$$
$$x_{1} = - \frac{50}{151}$$
$$x_{3} = \frac{101}{151}$$
$$x_{4} = - \frac{6}{151}$$
Численный ответ
[LaTeX]
a1 = -0.3311258278145695 b1 = 4.827814569536424 c1 = 0.6688741721854305 d1 = -0.03973509933774834