x+12*y-2*z=-13 8*x+5*y+z=26 13*x+4*y-z=4
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
x + 12*y - 2*z = -13
$$- 2 z + x + 12 y = -13$$
8*x + 5*y + z = 26
$$z + 8 x + 5 y = 26$$
13*x + 4*y - z = 4
$$- z + 13 x + 4 y = 4$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
$$z_{1} = 13$$
=
$$13$$
=
$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
=
$$1$$
=
1
$$z_{1} = 13$$
=
$$13$$
=
13
$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=
1
Метод Крамера
[TeX]
$$- 2 z + x + 12 y = -13$$
$$z + 8 x + 5 y = 26$$
$$- z + 13 x + 4 y = 4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 12 y - 2 z = -13$$
$$8 x + 5 y + z = 26$$
$$13 x + 4 y - z = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 2 x_{3} + x_{1} + 12 x_{2}\\x_{3} + 8 x_{1} + 5 x_{2}\\- x_{3} + 13 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-13\\26\\4\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 12 & -2\\8 & 5 & 1\\13 & 4 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 309$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{309} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-13 & 12 & -2\\26 & 5 & 1\\4 & 4 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{309} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -13 & -2\\8 & 26 & 1\\13 & 4 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{3} = \frac{1}{309} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 12 & -13\\8 & 5 & 26\\13 & 4 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 13$$
$$z + 8 x + 5 y = 26$$
$$- z + 13 x + 4 y = 4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 12 y - 2 z = -13$$
$$8 x + 5 y + z = 26$$
$$13 x + 4 y - z = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 2 x_{3} + x_{1} + 12 x_{2}\\x_{3} + 8 x_{1} + 5 x_{2}\\- x_{3} + 13 x_{1} + 4 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-13\\26\\4\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 12 & -2\\8 & 5 & 1\\13 & 4 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 309$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{309} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-13 & 12 & -2\\26 & 5 & 1\\4 & 4 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{2} = \frac{1}{309} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & -13 & -2\\8 & 26 & 1\\13 & 4 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 1$$
$$x_{3} = \frac{1}{309} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 12 & -13\\8 & 5 & 26\\13 & 4 & 4\end{matrix}\right] \right )} = 13$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$- 2 z + x + 12 y = -13$$
$$z + 8 x + 5 y = 26$$
$$- z + 13 x + 4 y = 4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 12 y - 2 z = -13$$
$$8 x + 5 y + z = 26$$
$$13 x + 4 y - z = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 12 & -2 & -13\\8 & 5 & 1 & 26\\13 & 4 & -1 & 4\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\8\\13\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 12 & -2 & -13\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -91 & 17 & 130\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -91 & 17 & 130\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 12 & -2 & -13\\0 & -91 & 17 & 130\\13 & 4 & -1 & 4\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -152 & 25 & 173\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -152 & 25 & 173\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 12 & -2 & -13\\0 & -91 & 17 & 130\\0 & -152 & 25 & 173\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}12\\-91\\-152\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -91 & 17 & 130\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -2 - - \frac{204}{91} & -13 - - \frac{120}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{22}{91} & \frac{29}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{22}{91} & \frac{29}{7}\\0 & -91 & 17 & 130\\0 & -152 & 25 & 173\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{2584}{91} + 25 & - \frac{1520}{7} + 173\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{309}{91} & - \frac{309}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{22}{91} & \frac{29}{7}\\0 & -91 & 17 & 130\\0 & 0 & - \frac{309}{91} & - \frac{309}{7}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{22}{91}\\17\\- \frac{309}{91}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{309}{91} & - \frac{309}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{22}{91} + \frac{22}{91} & - \frac{22}{7} + \frac{29}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & -91 & 17 & 130\\0 & 0 & - \frac{309}{91} & - \frac{309}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -91 & 0 & -91\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -91 & 0 & -91\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & -91 & 0 & -91\\0 & 0 & - \frac{309}{91} & - \frac{309}{7}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 1 = 0$$
$$- 91 x_{2} + 91 = 0$$
$$- \frac{309 x_{3}}{91} + \frac{309}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 13$$
$$- 2 z + x + 12 y = -13$$
$$z + 8 x + 5 y = 26$$
$$- z + 13 x + 4 y = 4$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 12 y - 2 z = -13$$
$$8 x + 5 y + z = 26$$
$$13 x + 4 y - z = 4$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 12 & -2 & -13\\8 & 5 & 1 & 26\\13 & 4 & -1 & 4\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\8\\13\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 12 & -2 & -13\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -91 & 17 & 130\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -91 & 17 & 130\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 12 & -2 & -13\\0 & -91 & 17 & 130\\13 & 4 & -1 & 4\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -152 & 25 & 173\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -152 & 25 & 173\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 12 & -2 & -13\\0 & -91 & 17 & 130\\0 & -152 & 25 & 173\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}12\\-91\\-152\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -91 & 17 & 130\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & -2 - - \frac{204}{91} & -13 - - \frac{120}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{22}{91} & \frac{29}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{22}{91} & \frac{29}{7}\\0 & -91 & 17 & 130\\0 & -152 & 25 & 173\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{2584}{91} + 25 & - \frac{1520}{7} + 173\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{309}{91} & - \frac{309}{7}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{22}{91} & \frac{29}{7}\\0 & -91 & 17 & 130\\0 & 0 & - \frac{309}{91} & - \frac{309}{7}\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}\frac{22}{91}\\17\\- \frac{309}{91}\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{309}{91} & - \frac{309}{7}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & - \frac{22}{91} + \frac{22}{91} & - \frac{22}{7} + \frac{29}{7}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & -91 & 17 & 130\\0 & 0 & - \frac{309}{91} & - \frac{309}{7}\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -91 & 0 & -91\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -91 & 0 & -91\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1\\0 & -91 & 0 & -91\\0 & 0 & - \frac{309}{91} & - \frac{309}{7}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 1 = 0$$
$$- 91 x_{2} + 91 = 0$$
$$- \frac{309 x_{3}}{91} + \frac{309}{7} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 13$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 1.00000000000000 y1 = 1.00000000000000 z1 = 13.0000000000000