(8+i)*z1+(2+i)*z2=33+24*i (4-9*i)*z1+(7+4*i)*z2=44-13*i
Решение
Вы ввели
[LaTeX]
(8 + I)*z1 + (2 + I)*z2 = 33 + 24*I
$$z_{1} \left(8 + i\right) + z_{2} \left(2 + i\right) = 33 + 24 i$$
(4 - 9*I)*z1 + (7 + 4*I)*z2 = 44 - 13*I
$$z_{1} \left(4 - 9 i\right) + z_{2} \left(7 + 4 i\right) = 44 - 13 i$$
Подробное решение
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$z_{1} \left(8 + i\right) + z_{2} \left(2 + i\right) = 33 + 24 i$$
$$z_{1} \left(4 - 9 i\right) + z_{2} \left(7 + 4 i\right) = 44 - 13 i$$
Из 1-го ур-ния выразим z1
$$z_{1} \left(8 + i\right) + z_{2} \left(2 + i\right) = 33 + 24 i$$
Перенесем слагаемое с переменной z2 из левой части в правую со сменой знака
$$z_{1} \left(8 + i\right) - z_{2} \left(2 + i\right) + z_{2} \left(2 + i\right) = - z_{1} \left(8 + i\right) - - z_{1} \left(8 + i\right) - z_{2} \left(2 + i\right) + 33 + 24 i$$
$$z_{1} \left(8 + i\right) = - z_{2} \left(2 + i\right) + 33 + 24 i$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при z1
$$\frac{z_{1} \left(8 + i\right)}{8 + i} = \frac{1}{8 + i} \left(- z_{2} \left(2 + i\right) + 33 + 24 i\right)$$
$$z_{1} = - \frac{17 z_{2}}{65} - \frac{6 i}{65} z_{2} + \frac{288}{65} + \frac{159 i}{65}$$
Подставим найденное z1 в 2-е ур-ние
$$z_{1} \left(4 - 9 i\right) + z_{2} \left(7 + 4 i\right) = 44 - 13 i$$
Получим:
$$z_{2} \left(7 + 4 i\right) + \left(4 - 9 i\right) \left(- \frac{17 z_{2}}{65} - \frac{6 i}{65} z_{2} + \frac{288}{65} + \frac{159 i}{65}\right) = 44 - 13 i$$
$$\frac{333 z_{2}}{65} + \frac{389 i}{65} z_{2} + \frac{2583}{65} - \frac{1956 i}{65} = 44 - 13 i$$
Перенесем свободное слагаемое 2583/65 - 1956*i/65 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{333 z_{2}}{65} + \frac{389 i}{65} z_{2} = 44 - 13 i + - \frac{2583}{65} - - \frac{1956 i}{65}$$
$$\frac{333 z_{2}}{65} + \frac{389 i}{65} z_{2} = \frac{277}{65} + \frac{1111 i}{65}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при z2
$$\frac{\frac{333 z_{2}}{65} + \frac{389 i}{65} z_{2}}{\frac{333 z_{2}}{65} + \frac{389 i}{65} z_{2}} = \frac{\frac{277}{65} + \frac{1111 i}{65}}{\frac{333 z_{2}}{65} + \frac{389 i}{65} z_{2}}$$
$$\frac{277 + 1111 i}{z_{2} \left(333 + 389 i\right)} = 1$$
Т.к.
$$z_{1} = - \frac{17 z_{2}}{65} - \frac{6 i}{65} z_{2} + \frac{288}{65} + \frac{159 i}{65}$$
то
$$z_{1} = - \frac{17}{65} + \frac{288}{65} - \frac{6 i}{65} + \frac{159 i}{65}$$
$$z_{1} = \frac{271}{65} + \frac{153 i}{65}$$
Ответ:
$$z_{1} = \frac{271}{65} + \frac{153 i}{65}$$
$$\frac{277 + 1111 i}{z_{2} \left(333 + 389 i\right)} = 1$$
$$z_{1} \left(8 + i\right) + z_{2} \left(2 + i\right) = 33 + 24 i$$
$$z_{1} \left(4 - 9 i\right) + z_{2} \left(7 + 4 i\right) = 44 - 13 i$$
Из 1-го ур-ния выразим z1
$$z_{1} \left(8 + i\right) + z_{2} \left(2 + i\right) = 33 + 24 i$$
Перенесем слагаемое с переменной z2 из левой части в правую со сменой знака
$$z_{1} \left(8 + i\right) - z_{2} \left(2 + i\right) + z_{2} \left(2 + i\right) = - z_{1} \left(8 + i\right) - - z_{1} \left(8 + i\right) - z_{2} \left(2 + i\right) + 33 + 24 i$$
$$z_{1} \left(8 + i\right) = - z_{2} \left(2 + i\right) + 33 + 24 i$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при z1
$$\frac{z_{1} \left(8 + i\right)}{8 + i} = \frac{1}{8 + i} \left(- z_{2} \left(2 + i\right) + 33 + 24 i\right)$$
$$z_{1} = - \frac{17 z_{2}}{65} - \frac{6 i}{65} z_{2} + \frac{288}{65} + \frac{159 i}{65}$$
Подставим найденное z1 в 2-е ур-ние
$$z_{1} \left(4 - 9 i\right) + z_{2} \left(7 + 4 i\right) = 44 - 13 i$$
Получим:
$$z_{2} \left(7 + 4 i\right) + \left(4 - 9 i\right) \left(- \frac{17 z_{2}}{65} - \frac{6 i}{65} z_{2} + \frac{288}{65} + \frac{159 i}{65}\right) = 44 - 13 i$$
$$\frac{333 z_{2}}{65} + \frac{389 i}{65} z_{2} + \frac{2583}{65} - \frac{1956 i}{65} = 44 - 13 i$$
Перенесем свободное слагаемое 2583/65 - 1956*i/65 из левой части в правую со сменой знака
$$\frac{333 z_{2}}{65} + \frac{389 i}{65} z_{2} = 44 - 13 i + - \frac{2583}{65} - - \frac{1956 i}{65}$$
$$\frac{333 z_{2}}{65} + \frac{389 i}{65} z_{2} = \frac{277}{65} + \frac{1111 i}{65}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при z2
$$\frac{\frac{333 z_{2}}{65} + \frac{389 i}{65} z_{2}}{\frac{333 z_{2}}{65} + \frac{389 i}{65} z_{2}} = \frac{\frac{277}{65} + \frac{1111 i}{65}}{\frac{333 z_{2}}{65} + \frac{389 i}{65} z_{2}}$$
$$\frac{277 + 1111 i}{z_{2} \left(333 + 389 i\right)} = 1$$
Т.к.
$$z_{1} = - \frac{17 z_{2}}{65} - \frac{6 i}{65} z_{2} + \frac{288}{65} + \frac{159 i}{65}$$
то
$$z_{1} = - \frac{17}{65} + \frac{288}{65} - \frac{6 i}{65} + \frac{159 i}{65}$$
$$z_{1} = \frac{271}{65} + \frac{153 i}{65}$$
Ответ:
$$z_{1} = \frac{271}{65} + \frac{153 i}{65}$$
$$\frac{277 + 1111 i}{z_{2} \left(333 + 389 i\right)} = 1$$
Быстрый ответ
[LaTeX]
$$z_{21} = 2 + i$$
=
$$2 + i$$
=
$$z_{11} = 4 + 2 i$$
=
$$4 + 2 i$$
=
=
$$2 + i$$
=
2 + 1*i
$$z_{11} = 4 + 2 i$$
=
$$4 + 2 i$$
=
4 + 2*i
Метод Крамера
[LaTeX]
$$z_{1} \left(8 + i\right) + z_{2} \left(2 + i\right) = 33 + 24 i$$
$$z_{1} \left(4 - 9 i\right) + z_{2} \left(7 + 4 i\right) = 44 - 13 i$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 z_{1} + i z_{1} + 2 z_{2} + i z_{2} - 33 - 24 i = 0$$
$$4 z_{1} - 9 i z_{1} + 7 z_{2} + 4 i z_{2} - 44 + 13 i = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} \left(8 + i\right) + x_{2} \left(2 + i\right)\\x_{1} \left(4 - 9 i\right) + x_{2} \left(7 + 4 i\right)\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}33 + 24 i\\44 - 13 i\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 + i & 2 + i\\4 - 9 i & 7 + 4 i\end{matrix}\right] \right )} = 35 + 53 i$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{35 + 53 i} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}33 + 24 i & 2 + i\\44 - 13 i & 7 + 4 i\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{8 + i} \left(33 - \frac{\left(2 + i\right) \left(44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\right)}{7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i} + 24 i\right)$$
=
$$4 + 2 i$$
$$x_{2} = \frac{1}{35 + 53 i} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 + i & 33 + 24 i\\4 - 9 i & 44 - 13 i\end{matrix}\right] \right )} = \frac{44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)}{7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i}$$
=
$$2 + i$$
$$z_{1} \left(4 - 9 i\right) + z_{2} \left(7 + 4 i\right) = 44 - 13 i$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 z_{1} + i z_{1} + 2 z_{2} + i z_{2} - 33 - 24 i = 0$$
$$4 z_{1} - 9 i z_{1} + 7 z_{2} + 4 i z_{2} - 44 + 13 i = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} \left(8 + i\right) + x_{2} \left(2 + i\right)\\x_{1} \left(4 - 9 i\right) + x_{2} \left(7 + 4 i\right)\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}33 + 24 i\\44 - 13 i\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 + i & 2 + i\\4 - 9 i & 7 + 4 i\end{matrix}\right] \right )} = 35 + 53 i$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = \frac{1}{35 + 53 i} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}33 + 24 i & 2 + i\\44 - 13 i & 7 + 4 i\end{matrix}\right] \right )} = \frac{1}{8 + i} \left(33 - \frac{\left(2 + i\right) \left(44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\right)}{7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i} + 24 i\right)$$
=
$$4 + 2 i$$
$$x_{2} = \frac{1}{35 + 53 i} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}8 + i & 33 + 24 i\\4 - 9 i & 44 - 13 i\end{matrix}\right] \right )} = \frac{44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)}{7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i}$$
=
$$2 + i$$
Метод Гаусса
[LaTeX]
Дана система ур-ний
$$z_{1} \left(8 + i\right) + z_{2} \left(2 + i\right) = 33 + 24 i$$
$$z_{1} \left(4 - 9 i\right) + z_{2} \left(7 + 4 i\right) = 44 - 13 i$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 z_{1} + i z_{1} + 2 z_{2} + i z_{2} - 33 - 24 i = 0$$
$$4 z_{1} - 9 i z_{1} + 7 z_{2} + 4 i z_{2} - 44 + 13 i = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 + i & 2 + i & 33 + 24 i\\4 - 9 i & 7 + 4 i & 44 - 13 i\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}8 + i\\4 - 9 i\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}8 + i & 2 + i & 33 + 24 i\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 - 9 i - 4 - 9 i & - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 7 + 4 i & 44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i & 44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 + i & 2 + i & 33 + 24 i\\0 & 7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i & 44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2 + i\\7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i & 44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- 0 + 8 + i & - 2 + i + 2 + i & - \frac{\left(2 + i\right) \left(44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\right)}{7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i} + 33 + 24 i\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 + i & 0 & 33 - \frac{\left(2 + i\right) \left(44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\right)}{7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i} + 24 i\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 + i & 0 & 33 - \frac{\left(2 + i\right) \left(44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\right)}{7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i} + 24 i\\0 & 7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i & 44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} \left(8 + i\right) - 33 - 24 i + \frac{\left(2 + i\right) \left(44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\right)}{7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i} = 0$$
$$x_{2} \left(7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i\right) - 44 + \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right) + 13 i = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 4 + 2 i$$
$$x_{2} = 2 + i$$
$$z_{1} \left(8 + i\right) + z_{2} \left(2 + i\right) = 33 + 24 i$$
$$z_{1} \left(4 - 9 i\right) + z_{2} \left(7 + 4 i\right) = 44 - 13 i$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$8 z_{1} + i z_{1} + 2 z_{2} + i z_{2} - 33 - 24 i = 0$$
$$4 z_{1} - 9 i z_{1} + 7 z_{2} + 4 i z_{2} - 44 + 13 i = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}8 + i & 2 + i & 33 + 24 i\\4 - 9 i & 7 + 4 i & 44 - 13 i\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}8 + i\\4 - 9 i\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}8 + i & 2 + i & 33 + 24 i\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}4 - 9 i - 4 - 9 i & - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 7 + 4 i & 44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i & 44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 + i & 2 + i & 33 + 24 i\\0 & 7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i & 44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2 + i\\7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i & 44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}- 0 + 8 + i & - 2 + i + 2 + i & - \frac{\left(2 + i\right) \left(44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\right)}{7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i} + 33 + 24 i\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}8 + i & 0 & 33 - \frac{\left(2 + i\right) \left(44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\right)}{7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i} + 24 i\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}8 + i & 0 & 33 - \frac{\left(2 + i\right) \left(44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\right)}{7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i} + 24 i\\0 & 7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i & 44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} \left(8 + i\right) - 33 - 24 i + \frac{\left(2 + i\right) \left(44 - 13 i - \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right)\right)}{7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i} = 0$$
$$x_{2} \left(7 - \frac{1}{8 + i} \left(2 + i\right) \left(4 - 9 i\right) + 4 i\right) - 44 + \frac{1}{8 + i} \left(4 - 9 i\right) \left(33 + 24 i\right) + 13 i = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 4 + 2 i$$
$$x_{2} = 2 + i$$
Численный ответ
[LaTeX]
z11 = 4.0 + 2.0*i z21 = 2.0 + 1.0*i