x+y=20 x-y=6
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
x + y = 20
$$x + y = 20$$
x - y = 6
$$x - y = 6$$
Подробное решение
[TeX]
Дана система ур-ний
$$x + y = 20$$
$$x - y = 6$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + y = 20$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - y + 20$$
$$x = - y + 20$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x - y = 6$$
Получим:
$$- y + - y + 20 = 6$$
$$- 2 y + 20 = 6$$
Перенесем свободное слагаемое 20 из левой части в правую со сменой знака
$$- 2 y = -14$$
$$- 2 y = -14$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-2} \left(-1 \cdot 2 y\right) = 7$$
$$y = 7$$
Т.к.
$$x = - y + 20$$
то
$$x = - 7 + 20$$
$$x = 13$$
Ответ:
$$x = 13$$
$$y = 7$$
$$x + y = 20$$
$$x - y = 6$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + y = 20$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - y + 20$$
$$x = - y + 20$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$x - y = 6$$
Получим:
$$- y + - y + 20 = 6$$
$$- 2 y + 20 = 6$$
Перенесем свободное слагаемое 20 из левой части в правую со сменой знака
$$- 2 y = -14$$
$$- 2 y = -14$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-2} \left(-1 \cdot 2 y\right) = 7$$
$$y = 7$$
Т.к.
$$x = - y + 20$$
то
$$x = - 7 + 20$$
$$x = 13$$
Ответ:
$$x = 13$$
$$y = 7$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$x_{1} = 13$$
=
$$13$$
=
$$y_{1} = 7$$
=
$$7$$
=
=
$$13$$
=
13
$$y_{1} = 7$$
=
$$7$$
=
7
Метод Крамера
[TeX]
$$x + y = 20$$
$$x - y = 6$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 20$$
$$x - y = 6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}20\\6\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}20 & 1\\6 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 13$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 20\\1 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 7$$
$$x - y = 6$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 20$$
$$x - y = 6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}20\\6\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -2$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}20 & 1\\6 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 13$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 20\\1 & 6\end{matrix}\right] \right )} = 7$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$x + y = 20$$
$$x - y = 6$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 20$$
$$x - y = 6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 20\\1 & -1 & 6\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 20\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & -14\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 20\\0 & -2 & -14\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -14\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 13\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 13\\0 & -2 & -14\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 13 = 0$$
$$- 2 x_{2} + 14 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 13$$
$$x_{2} = 7$$
$$x + y = 20$$
$$x - y = 6$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 20$$
$$x - y = 6$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 20\\1 & -1 & 6\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 20\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -14\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -2 & -14\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 20\\0 & -2 & -14\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -2 & -14\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 13\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 13\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 13\\0 & -2 & -14\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 13 = 0$$
$$- 2 x_{2} + 14 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 13$$
$$x_{2} = 7$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
x1 = 13.0000000000000 y1 = 7.00000000000000