Дана система ур-ний $$x - 1 = \frac{y}{2} + 1$$ $$- y + 1 = \frac{y}{2} + 1$$
Из 1-го ур-ния выразим x $$x - 1 = \frac{y}{2} + 1$$ Перенесем свободное слагаемое -1 из левой части в правую со сменой знака $$x = \frac{y}{2} + 1 + 1$$ $$x = \frac{y}{2} + 2$$ Подставим найденное x в 2-е ур-ние $$- y + 1 = \frac{y}{2} + 1$$ Получим: $$- y + 1 = \frac{y}{2} + 1$$ $$- y + 1 = \frac{y}{2} + 1$$ Перенесем слагаемое с переменной y из правой части в левую со сменой знака $$- \frac{y}{2} + - y + 1 = 1$$ $$- \frac{3 y}{2} + 1 = 1$$ Перенесем свободное слагаемое 1 из левой части в правую со сменой знака $$- \frac{3 y}{2} = 0$$ $$- \frac{3 y}{2} = 0$$ Разделим обе части ур-ния на множитель при y $$\frac{-1 \frac{3}{2} y}{- \frac{3}{2}} = 0$$ $$y = 0$$ Т.к. $$x = \frac{y}{2} + 2$$ то $$x = \frac{0}{2} + 2$$ $$x = 2$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x - \frac{y}{2} = 2$$ $$- \frac{3 y}{2} = 0$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}x_{1} - \frac{x_{2}}{2}\\0 x_{1} - \frac{3 x_{2}}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right]$$ - это есть система уравнений, имеющая форму A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы: $$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & - \frac{1}{2}\\0 & - \frac{3}{2}\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{3}{2}$$ , то Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A. ( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B ) $$x_{1} = - \frac{2}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}2 & - \frac{1}{2}\\0 & - \frac{3}{2}\end{matrix}\right] \right )} = 2$$ $$x_{2} = - \frac{2}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2\\0 & 0\end{matrix}\right] \right )} = 0$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний $$x - 1 = \frac{y}{2} + 1$$ $$- y + 1 = \frac{y}{2} + 1$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду $$x - \frac{y}{2} = 2$$ $$- \frac{3 y}{2} = 0$$ Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде $$\left[\begin{matrix}1 & - \frac{1}{2} & 2\\0 & - \frac{3}{2} & 0\end{matrix}\right]$$ Во 2 ом столбце $$\left[\begin{matrix}- \frac{1}{2}\\- \frac{3}{2}\end{matrix}\right]$$ делаем так, чтобы все элементы, кроме 2 го элемента равнялись нулю. - Для этого берём 2 ую строку $$\left[\begin{matrix}0 & - \frac{3}{2} & 0\end{matrix}\right]$$ , и будем вычитать ее из других строк: Из 1 ой строки вычитаем: $$\left[\begin{matrix}1 & - \frac{1}{2} - - \frac{1}{2} & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$ получаем $$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\\0 & - \frac{3}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния: $$x_{1} - 2 = 0$$ $$- \frac{3 x_{2}}{2} = 0$$ Получаем ответ: $$x_{1} = 2$$ $$x_{2} = 0$$