10=13*a+10*b+7*c 70=12*b+7*a-2*c 60=19*c-10*a-7*c
Примеры
Система линейных уравнений с двумя неизвестными
x + y = 5 2x - 3y = 1
Система линейных ур-ний с тремя неизвестными
2*x = 2 5*y = 10 x + y + z = 3
Система дробно-рациональных уравнений
x + y = 3 1/x + 1/y = 2/5
Система четырёх уравнений
x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 = 1 2x1 - x2 - 2x3 - 3x4 = 2 3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -5 2x1 - 3x2 + 2x3 + x4 = 11
Система линейных уравнений с четырьмя неизвестными
2x + 4y + 6z + 8v = 100 3x + 5y + 7z + 9v = 116 3x - 5y + 7z - 9v = -40 -2x + 4y - 6z + 8v = 36
Система трёх нелинейных ур-ний, содержащая квадрат и дробь
2/x = 11 x - 3*z^2 = 0 2/7*x + y - z = -3
Система двух ур-ний, содержащая куб (3-ю степень)
x = y^3 x*y = -5
Система ур-ний c квадратным корнем
x + y - sqrt(x*y) = 5 2*x*y = 3
Система тригонометрических ур-ний
x + y = 5*pi/2 sin(x) + cos(2y) = -1
Система показательных и логарифмических уравнений
y - log(x)/log(3) = 1 x^y = 3^12
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
10 = 13*a + 10*b + 7*c
$$10 = 7 c + 13 a + 10 b$$
70 = 12*b + 7*a - 2*c
$$70 = - 2 c + 7 a + 12 b$$
60 = 19*c - 10*a - 7*c
$$60 = - 7 c + - 10 a + 19 c$$
Быстрый ответ
[TeX]
$$c_{1} = - \frac{80}{259}$$
=
$$- \frac{80}{259}$$
=
$$b_{1} = \frac{2460}{259}$$
=
$$\frac{2460}{259}$$
=
$$a_{1} = - \frac{1650}{259}$$
=
$$- \frac{1650}{259}$$
=
=
$$- \frac{80}{259}$$
=
-0.308880308880309
$$b_{1} = \frac{2460}{259}$$
=
$$\frac{2460}{259}$$
=
9.49806949806950
$$a_{1} = - \frac{1650}{259}$$
=
$$- \frac{1650}{259}$$
=
-6.37065637065637
Метод Крамера
[TeX]
$$10 = 7 c + 13 a + 10 b$$
$$70 = - 2 c + 7 a + 12 b$$
$$60 = - 7 c + - 10 a + 19 c$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 13 a - 10 b - 7 c = -10$$
$$- 7 a - 12 b + 2 c = -70$$
$$10 a - 12 c = -60$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 7 x_{3} + - 13 x_{1} - 10 x_{2}\\2 x_{3} + - 7 x_{1} - 12 x_{2}\\- 12 x_{3} + 10 x_{1} + 0 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-10\\-70\\-60\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-13 & -10 & -7\\-7 & -12 & 2\\10 & 0 & -12\end{matrix}\right] \right )} = -2072$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{2072} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-10 & -10 & -7\\-70 & -12 & 2\\-60 & 0 & -12\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{1650}{259}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2072} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-13 & -10 & -7\\-7 & -70 & 2\\10 & -60 & -12\end{matrix}\right] \right )} = \frac{2460}{259}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2072} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-13 & -10 & -10\\-7 & -12 & -70\\10 & 0 & -60\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{80}{259}$$
$$70 = - 2 c + 7 a + 12 b$$
$$60 = - 7 c + - 10 a + 19 c$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 13 a - 10 b - 7 c = -10$$
$$- 7 a - 12 b + 2 c = -70$$
$$10 a - 12 c = -60$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}- 7 x_{3} + - 13 x_{1} - 10 x_{2}\\2 x_{3} + - 7 x_{1} - 12 x_{2}\\- 12 x_{3} + 10 x_{1} + 0 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-10\\-70\\-60\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-13 & -10 & -7\\-7 & -12 & 2\\10 & 0 & -12\end{matrix}\right] \right )} = -2072$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{2072} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-10 & -10 & -7\\-70 & -12 & 2\\-60 & 0 & -12\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{1650}{259}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2072} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-13 & -10 & -7\\-7 & -70 & 2\\10 & -60 & -12\end{matrix}\right] \right )} = \frac{2460}{259}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2072} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}-13 & -10 & -10\\-7 & -12 & -70\\10 & 0 & -60\end{matrix}\right] \right )} = - \frac{80}{259}$$
Метод Гаусса
[TeX]
Дана система ур-ний
$$10 = 7 c + 13 a + 10 b$$
$$70 = - 2 c + 7 a + 12 b$$
$$60 = - 7 c + - 10 a + 19 c$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 13 a - 10 b - 7 c = -10$$
$$- 7 a - 12 b + 2 c = -70$$
$$10 a - 12 c = -60$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-13 & -10 & -7 & -10\\-7 & -12 & 2 & -70\\10 & 0 & -12 & -60\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-13\\-7\\10\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}10 & 0 & -12 & -60\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & - \frac{78}{5} - 7 & -88\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -10 & - \frac{113}{5} & -88\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & - \frac{113}{5} & -88\\-7 & -12 & 2 & -70\\10 & 0 & -12 & -60\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -12 & - \frac{42}{5} + 2 & -112\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -12 & - \frac{32}{5} & -112\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & - \frac{113}{5} & -88\\0 & -12 & - \frac{32}{5} & -112\\10 & 0 & -12 & -60\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-10\\-12\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & - \frac{113}{5} & -88\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{32}{5} - - \frac{678}{25} & -112 - - \frac{528}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{518}{25} & - \frac{32}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & - \frac{113}{5} & -88\\0 & 0 & \frac{518}{25} & - \frac{32}{5}\\10 & 0 & -12 & -60\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{113}{5}\\\frac{518}{25}\\-12\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{518}{25} & - \frac{32}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & - \frac{113}{5} - - \frac{113}{5} & -88 - \frac{1808}{259}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -10 & 0 & - \frac{24600}{259}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & 0 & - \frac{24600}{259}\\0 & 0 & \frac{518}{25} & - \frac{32}{5}\\10 & 0 & -12 & -60\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}10 & 0 & 0 & -60 - \frac{960}{259}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}10 & 0 & 0 & - \frac{16500}{259}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & 0 & - \frac{24600}{259}\\0 & 0 & \frac{518}{25} & - \frac{32}{5}\\10 & 0 & 0 & - \frac{16500}{259}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 10 x_{2} + \frac{24600}{259} = 0$$
$$\frac{518 x_{3}}{25} + \frac{32}{5} = 0$$
$$10 x_{1} + \frac{16500}{259} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = \frac{2460}{259}$$
$$x_{3} = - \frac{80}{259}$$
$$x_{1} = - \frac{1650}{259}$$
$$10 = 7 c + 13 a + 10 b$$
$$70 = - 2 c + 7 a + 12 b$$
$$60 = - 7 c + - 10 a + 19 c$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 13 a - 10 b - 7 c = -10$$
$$- 7 a - 12 b + 2 c = -70$$
$$10 a - 12 c = -60$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}-13 & -10 & -7 & -10\\-7 & -12 & 2 & -70\\10 & 0 & -12 & -60\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-13\\-7\\10\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 3 ую строку
$$\left[\begin{matrix}10 & 0 & -12 & -60\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & - \frac{78}{5} - 7 & -88\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -10 & - \frac{113}{5} & -88\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & - \frac{113}{5} & -88\\-7 & -12 & 2 & -70\\10 & 0 & -12 & -60\end{matrix}\right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -12 & - \frac{42}{5} + 2 & -112\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -12 & - \frac{32}{5} & -112\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & - \frac{113}{5} & -88\\0 & -12 & - \frac{32}{5} & -112\\10 & 0 & -12 & -60\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}-10\\-12\\0\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & - \frac{113}{5} & -88\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{32}{5} - - \frac{678}{25} & -112 - - \frac{528}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{518}{25} & - \frac{32}{5}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & - \frac{113}{5} & -88\\0 & 0 & \frac{518}{25} & - \frac{32}{5}\\10 & 0 & -12 & -60\end{matrix}\right]$$
В 3 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}- \frac{113}{5}\\\frac{518}{25}\\-12\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{518}{25} & - \frac{32}{5}\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & - \frac{113}{5} - - \frac{113}{5} & -88 - \frac{1808}{259}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -10 & 0 & - \frac{24600}{259}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & 0 & - \frac{24600}{259}\\0 & 0 & \frac{518}{25} & - \frac{32}{5}\\10 & 0 & -12 & -60\end{matrix}\right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}10 & 0 & 0 & -60 - \frac{960}{259}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}10 & 0 & 0 & - \frac{16500}{259}\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}0 & -10 & 0 & - \frac{24600}{259}\\0 & 0 & \frac{518}{25} & - \frac{32}{5}\\10 & 0 & 0 & - \frac{16500}{259}\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 10 x_{2} + \frac{24600}{259} = 0$$
$$\frac{518 x_{3}}{25} + \frac{32}{5} = 0$$
$$10 x_{1} + \frac{16500}{259} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{2} = \frac{2460}{259}$$
$$x_{3} = - \frac{80}{259}$$
$$x_{1} = - \frac{1650}{259}$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
a1 = -6.370656370656371 b1 = 9.498069498069498 c1 = -0.3088803088803089