$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\left(3000 - y{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)}}{1000}$$

Дано уравнение:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\left(3000 - y{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)}}{1000}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

где
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{1000}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \left(3000 - y{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y)
$$\left(3000 - y{\left(x \right)}\right) y{\left(x \right)}$$
получим
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} - 3000\right) y{\left(x \right)}} = \frac{1}{1000}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(y{\left(x \right)} - 3000\right) y{\left(x \right)}} = \frac{dx}{1000}$$
или
$$- \frac{dy}{\left(y{\left(x \right)} - 3000\right) y{\left(x \right)}} = \frac{dx}{1000}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y,
- от правой части интеграл по x.
$$\int \left(- \frac{1}{y \left(y - 3000\right)}\right)\, dy = \int \frac{1}{1000}\, dx$$
Подробное решение интеграла с y
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\frac{\log{\left(y \right)}}{3000} - \frac{\log{\left(y - 3000 \right)}}{3000} = Const + \frac{x}{1000}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y.
(Const - это константа)

Решением будет:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{3000}{C_{1} e^{- 3 x} + 1}$$

$$y{\left(x \right)} = \frac{3000}{C_{1} e^{- 3 x} + 1}$$