$$\left(x^{2} + 1\right) \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$

Дано уравнение:
$$\left(x^{2} + 1\right) \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Это дифф. уравнение имеет вид:

f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),

где
$$f_{1}{\left(x \right)} = 1$$
$$g_{1}{\left(y' \right)} = 1$$
$$f_{2}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$
$$g_{2}{\left(y' \right)} = \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Приведём ур-ние к виду:

g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).

Разделим обе части ур-ния на g2(y')
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
получим
$$\frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$
Этим самым мы разделили переменные x и y'.

Теперь домножим обе части ур-ния на dx,
тогда ур-ние будет таким
$$\frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = \frac{2 dx x}{x^{2} + 1}$$
или
$$\frac{dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = \frac{2 dx x}{x^{2} + 1}$$

Возьмём от обеих частей ур-ния интегралы:
- от левой части интеграл по y',
- от правой части интеграл по x.
$$\int \frac{1}{y'}\, dy' = \int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx$$
Подробное решение интеграла с y'
Подробное решение интеграла с x
Возьмём эти интегралы
$$\log{\left(y' \right)} = Const + \log{\left(x^{2} + 1 \right)}$$
Подробное решение простого уравнения
Мы получили обыкн. ур-ние с неизвестной y'.
(Const - это константа)

Решением будет:

y'_1 =

$$\operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} \left(x^{2} + 1\right)$$
возьмём эти интегралы

y1 =

$$\int \frac{d^{0 + 1}}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int C_{1} \left(x^{2} + 1\right)\, dx$$ =

y1 =

$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} x^{3}}{3} + C_{1} x + C_{2}$$

$$y{\left(x \right)} = C_{1} - \frac{C_{2} x^{3}}{3} - C_{2} x$$