x+2*y=4 5*x+9*y=20

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

x + 2*y = 4

$$x + 2 y = 4$$

5*x + 9*y = 20

$$5 x + 9 y = 20$$

Подробное решение

[TeX]

Дана система ур-ний
$$x + 2 y = 4$$
$$5 x + 9 y = 20$$

Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + 2 y = 4$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - 2 y + 4$$
$$x = - 2 y + 4$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$5 x + 9 y = 20$$
Получим:
$$9 y + 5 \left(- 2 y + 4\right) = 20$$
$$- y + 20 = 20$$
Перенесем свободное слагаемое 20 из левой части в правую со сменой знака
$$- y = 0$$
$$- y = 0$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{-1 y}{-1} = 0$$
$$y = 0$$
Т.к.
$$x = - 2 y + 4$$
то
$$x = - 0 + 4$$
$$x = 4$$

Ответ:
$$x = 4$$
$$y = 0$$

Быстрый ответ

[TeX]

$$x_{1} = 4$$
=
$$4$$
=

4

$$y_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

Метод Крамера

[TeX]

$$x + 2 y = 4$$
$$5 x + 9 y = 20$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y = 4$$
$$5 x + 9 y = 20$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + 2 x_{2}\\5 x_{1} + 9 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\20\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 2\\5 & 9\end{matrix}\right] \right )} = -1$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}4 & 2\\20 & 9\end{matrix}\right] \right )} = 4$$
$$x_{2} = - \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 4\\5 & 20\end{matrix}\right] \right )} = 0$$

Метод Гаусса

[TeX]

Дана система ур-ний
$$x + 2 y = 4$$
$$5 x + 9 y = 20$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + 2 y = 4$$
$$5 x + 9 y = 20$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 4\\5 & 9 & 20\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 4\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 2 & 4\\0 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 4\\0 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$

Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 4 = 0$$
$$- x_{2} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 0$$

Численный ответ

[pretty]

[text]

x1 = 4.00000000000000
y1 = -8.271806125530277e-25

x2 = 4.00000000000000
y2 = 7.237830359838992e-25

x3 = 4.00000000000000
y3 = 8.271806125530277e-25

x4 = 4.00000000000000
y4 = 1.292469707114106e-25

x5 = 4.00000000000000
y5 = 2.584939414228211e-25

x6 = 4.00000000000000
y6 = 2.067951531382569e-25

x7 = 4.00000000000000
y7 = 5.169878828456423e-25

x8 = 4.00000000000000
y8 = 7.754818242684634e-25