Подробное решение
Дана система ур-ний
$$x + y = 11$$
$$2 x - y = -5$$
Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + y = 11$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x = - y + 11$$
$$x = - y + 11$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$2 x - y = -5$$
Получим:
$$- y + 2 \left(- y + 11\right) = -5$$
$$- 3 y + 22 = -5$$
Перенесем свободное слагаемое 22 из левой части в правую со сменой знака
$$- 3 y = -27$$
$$- 3 y = -27$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$\frac{1}{-3} \left(-1 \cdot 3 y\right) = 9$$
$$y = 9$$
Т.к.
$$x = - y + 11$$
то
$$x = - 9 + 11$$
$$x = 2$$
Ответ:
$$x = 2$$
$$y = 9$$
Метод Крамера
$$x + y = 11$$
$$2 x - y = -5$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 11$$
$$2 x - y = -5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}11\\-5\end{matrix}\right]$$
- это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B
Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:
Т.к. определитель матрицы:
$$A = \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 1\\2 & -1\end{matrix}\right] \right )} = -3$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = - \frac{1}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}11 & 1\\-5 & -1\end{matrix}\right] \right )} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3} \operatorname{det}{\left (\left[\begin{matrix}1 & 11\\2 & -5\end{matrix}\right] \right )} = 9$$
Метод Гаусса
Дана система ур-ний
$$x + y = 11$$
$$2 x - y = -5$$
Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = 11$$
$$2 x - y = -5$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 11\\2 & -1 & -5\end{matrix}\right]$$
В 1 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 1 ую строку
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 11\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -27\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & -27\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 11\\0 & -3 & -27\end{matrix}\right]$$
Во 2 ом столбце
$$\left[\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
- Для этого берём 2 ую строку
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -27\end{matrix}\right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
получаем
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\\0 & -3 & -27\end{matrix}\right]$$
Все почти готово - осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} - 2 = 0$$
$$- 3 x_{2} + 27 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 9$$