График функции y = 11*x/(16+x^2)^1

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
          11*x   
f(x) = ----------
                1
       /      2\ 
       \16 + x / 
$$f{\left (x \right )} = \frac{11 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{1}}$$
График функции
[LaTeX]
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{11 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (11*x)/(16 + x^2)^1.
$$\frac{0 \cdot 11}{\left(0^{2} + 16\right)^{1}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{22 x^{2}}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} + \frac{11}{x^{2} + 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
(-4, -11/8)

(4, 11/8)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 4$$
Убывает на промежутках
[-4, 4]

Возрастает на промежутках
(-oo, -4] U [4, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{22 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 16} - 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 4 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 4 \sqrt{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-4*sqrt(3), 0] U [4*sqrt(3), oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -4*sqrt(3)] U [0, 4*sqrt(3)]
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{11 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{11 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (11*x)/(16 + x^2)^1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{11}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{11}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{11 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{1}} = - \frac{11 x}{x^{2} + 16}$$
- Нет
$$\frac{11 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{1}} = - \frac{-1 \cdot 11 x}{x^{2} + 16}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной