График функции y = (e^(2*(x-1)))/(2*(x-1))

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        2*(x - 1)
       E         
f(x) = ----------
       2*(x - 1) 
$$f{\left (x \right )} = \frac{e^{2 \left(x - 1\right)}}{2 \left(x - 1\right)}$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{e^{2 \left(x - 1\right)}}{2 \left(x - 1\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -66.3661325909$$
$$x_{2} = -48.3661325909$$
$$x_{3} = -72.3661325909$$
$$x_{4} = -38.3661325909$$
$$x_{5} = -26.3661325909$$
$$x_{6} = -60.3661325909$$
$$x_{7} = -22.3661325909$$
$$x_{8} = -78.3661325909$$
$$x_{9} = -106.366132591$$
$$x_{10} = -94.3661325909$$
$$x_{11} = -44.3661325909$$
$$x_{12} = -64.3661325909$$
$$x_{13} = -54.3661325909$$
$$x_{14} = -108.366132591$$
$$x_{15} = -82.3661325909$$
$$x_{16} = -24.3661325909$$
$$x_{17} = -76.3661325909$$
$$x_{18} = -52.3661325909$$
$$x_{19} = -28.3661325909$$
$$x_{20} = -16.3661325909$$
$$x_{21} = -40.3661325909$$
$$x_{22} = -20.3661325909$$
$$x_{23} = -104.366132591$$
$$x_{24} = -110.366132591$$
$$x_{25} = -68.3661325909$$
$$x_{26} = -100.366132591$$
$$x_{27} = -36.3661325909$$
$$x_{28} = -88.3661325909$$
$$x_{29} = -14.3661325909$$
$$x_{30} = -56.3661325909$$
$$x_{31} = -86.3661325909$$
$$x_{32} = -42.3661325909$$
$$x_{33} = -80.3661325909$$
$$x_{34} = -32.3661325909$$
$$x_{35} = -70.3661325909$$
$$x_{36} = -30.3661325909$$
$$x_{37} = -102.366132591$$
$$x_{38} = -84.3661325909$$
$$x_{39} = -34.3661325909$$
$$x_{40} = -90.3661325909$$
$$x_{41} = -18.3661325909$$
$$x_{42} = -98.3661325909$$
$$x_{43} = -50.3661325909$$
$$x_{44} = -46.3661325909$$
$$x_{45} = -92.3661325909$$
$$x_{46} = -62.3661325909$$
$$x_{47} = -74.3661325909$$
$$x_{48} = -58.3661325909$$
$$x_{49} = -96.3661325909$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в E^(2*(x - 1))/(2*(x - 1)).
$$\frac{1}{-1 \cdot 2 e^{2}}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = - \frac{1}{2 e^{2}}$$
Точка:
(0, -exp(-2)/2)
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$2 \frac{1}{2 x - 2} e^{2 x - 2} - \frac{e^{2 x - 2}}{2 \left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
(3/2, E)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[3/2, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, 3/2]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{e^{2 x - 2}}{x - 1} \left(2 - \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{2 \left(x - 1\right)}}{2 \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{2 \left(x - 1\right)}}{2 \left(x - 1\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции E^(2*(x - 1))/(2*(x - 1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{2}}{x} \frac{1}{x - 1} e^{2 x - 2}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{2}}{x} \frac{1}{x - 1} e^{2 x - 2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{e^{2 \left(x - 1\right)}}{2 \left(x - 1\right)} = \frac{e^{- 2 x - 2}}{- 2 x - 2}$$
- Нет
$$\frac{e^{2 \left(x - 1\right)}}{2 \left(x - 1\right)} = - \frac{e^{- 2 x - 2}}{- 2 x - 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной