График функции y = (x^3+3*x^2-12*x+8)/(3*x^2)^1

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        3      2           
       x  + 3*x  - 12*x + 8
f(x) = --------------------
                   1       
             /   2\        
             \3*x /        
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{\left(3 x^{2}\right)^{1}} \left(- 12 x + x^{3} + 3 x^{2} + 8\right)$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{\left(3 x^{2}\right)^{1}} \left(- 12 x + x^{3} + 3 x^{2} + 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -2 + 2 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = - 2 \sqrt{3} - 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -5.46410161514$$
$$x_{3} = 1.46410161514$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^3 + 3*x^2 - 12*x + 8)/(3*x^2)^1.
$$\frac{1}{\left(3 \cdot 0^{2}\right)^{1}} \left(0^{3} + 3 \cdot 0^{2} - 0 + 8\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{3 x^{2}} \left(3 x^{2} + 6 x - 12\right) - \frac{1}{3 x^{3}} \left(2 \left(- 12 x + x^{3} + 3 x^{2}\right) + 16\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{2}{\sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}} + 2 \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}$$
Зн. экстремумы в точках:
                                                                               3                                                              2                  
                                          /                        ___________\          ___________     /                        ___________\                   
                                          |        2            3 /       ___ |       3 /       ___      |        2            3 /       ___ |          24       
                                      8 + |- -------------- + 2*\/  1 + \/ 2  |  - 24*\/  1 + \/ 2   + 3*|- -------------- + 2*\/  1 + \/ 2  |  + -------------- 
                                          |     ___________                   |                          |     ___________                   |       ___________ 
                         ___________      |  3 /       ___                    |                          |  3 /       ___                    |    3 /       ___  
         2            3 /       ___       \  \/  1 + \/ 2                     /                          \  \/  1 + \/ 2                     /    \/  1 + \/ 2   
(- -------------- + 2*\/  1 + \/ 2 , --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
      ___________                                                                                                     2                                          
   3 /       ___                                                                 /                        ___________\                                           
   \/  1 + \/ 2                                                                  |        2            3 /       ___ |                                           
                                                                               3*|- -------------- + 2*\/  1 + \/ 2  |                                           
                                                                                 |     ___________                   |                                           
                                                                                 |  3 /       ___                    |                                           
                                                                                 \  \/  1 + \/ 2                     /                                           


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2}{\sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}} + 2 \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[-2/(1 + sqrt(2))**(1/3) + 2*(1 + sqrt(2))**(1/3), oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -2/(1 + sqrt(2))**(1/3) + 2*(1 + sqrt(2))**(1/3)]
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2}} \left(2 x + 2 - \frac{1}{x} \left(4 x^{2} + 8 x - 16\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{3} + 6 x^{2} - 24 x + 16\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 2$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(2 x + 2 - \frac{1}{x} \left(4 x^{2} + 8 x - 16\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{3} + 6 x^{2} - 24 x + 16\right)\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(2 x + 2 - \frac{1}{x} \left(4 x^{2} + 8 x - 16\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{3} + 6 x^{2} - 24 x + 16\right)\right)\right) = \infty$$
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 2]

Выпуклая на промежутках
[2, oo)
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\left(3 x^{2}\right)^{1}} \left(- 12 x + x^{3} + 3 x^{2} + 8\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(3 x^{2}\right)^{1}} \left(- 12 x + x^{3} + 3 x^{2} + 8\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 + 3*x^2 - 12*x + 8)/(3*x^2)^1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{3} \frac{1}{x^{2}}}{x} \left(- 12 x + x^{3} + 3 x^{2} + 8\right)\right) = \frac{1}{3}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \frac{x}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{3} \frac{1}{x^{2}}}{x} \left(- 12 x + x^{3} + 3 x^{2} + 8\right)\right) = \frac{1}{3}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \frac{x}{3}$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{\left(3 x^{2}\right)^{1}} \left(- 12 x + x^{3} + 3 x^{2} + 8\right) = \frac{1}{3 x^{2}} \left(- x^{3} + 3 x^{2} + 12 x + 8\right)$$
- Нет
$$\frac{1}{\left(3 x^{2}\right)^{1}} \left(- 12 x + x^{3} + 3 x^{2} + 8\right) = - \frac{1}{3 x^{2}} \left(- x^{3} + 3 x^{2} + 12 x + 8\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной