График функции y = (x^3-4)/(x^2)^1

Функция f() ?

Примеры

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
        3    
       x  - 4
f(x) = ------
           1 
       / 2\  
       \x /  
$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{\left(x^{2}\right)^{1}} \left(x^{3} - 4\right)$$
График функции
[LaTeX]
Область определения функции
[LaTeX]
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{\left(x^{2}\right)^{1}} \left(x^{3} - 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2^{\frac{2}{3}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.58740105197$$
Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x^3 - 4)/(x^2)^1.
$$\frac{1}{\left(0^{2}\right)^{1}} \left(-4 + 0^{3}\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
[LaTeX]
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{3 x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} \left(2 x^{3} - 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2$$
Зн. экстремумы в точках:
(-2, -3)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Убывает на промежутках
(-oo, -2]

Возрастает на промежутках
[-2, oo)
Точки перегибов
[LaTeX]
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x} \left(-6 + \frac{1}{x^{3}} \left(6 x^{3} - 24\right)\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
[LaTeX]
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\left(x^{2}\right)^{1}} \left(x^{3} - 4\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(x^{2}\right)^{1}} \left(x^{3} - 4\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^3 - 4)/(x^2)^1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x^{3}} \left(x^{3} - 4\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{3}} \left(x^{3} - 4\right)\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{\left(x^{2}\right)^{1}} \left(x^{3} - 4\right) = \frac{1}{x^{2}} \left(- x^{3} - 4\right)$$
- Нет
$$\frac{1}{\left(x^{2}\right)^{1}} \left(x^{3} - 4\right) = - \frac{1}{x^{2}} \left(- x^{3} - 4\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной