Интеграл -3*1/(4*x^2)+9/(2*x)-6 (dx)

  1                      
  /                      
 |                       
 |  /   3      9     \   
 |  |- ---- + --- - 6| dx
 |  |     2   2*x    |   
 |  \  4*x           /   
 |                       
/                        
0                        

1. Интегрируем почленно:

   1. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 3 \frac{1}{4 x^{2}}\, dx = - 3 \int \frac{1}{4 x^{2}}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{4 x^{2}} = \frac{1}{4 x^{2}}$

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{4 x^{2}}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

            1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4 x}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3}{4 x}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{9}{2 x}\, dx = 9 \int \frac{1}{2 x}\, dx$

         1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

            Метод #1

            1. пусть $u = 2 x$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{2} \log{\left (2 x \right )}$

            Метод #2

            1. Перепишите подынтегральное выражение:

               $\frac{1}{2 x} = \frac{1}{2 x}$

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2 x}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x}\, dx$

               1. Интеграл $\frac{1}{x}$ есть $\log{\left (x \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{9}{2} \log{\left (2 x \right )}$

      Результат есть: $\frac{9}{2} \log{\left (2 x \right )} + \frac{3}{4 x}$

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int -6\, dx = - 6 x$

   Результат есть: $- 6 x + \frac{9}{2} \log{\left (2 x \right )} + \frac{3}{4 x}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- 6 x + \frac{9}{2} \log{\left (2 x \right )} + \frac{3}{4 x}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- 6 x + \frac{9}{2} \log{\left (2 x \right )} + \frac{3}{4 x}+ \mathrm{constant}$

  1                            
  /                            
 |                             
 |  /   3      9     \         
 |  |- ---- + --- - 6| dx = -oo
 |  |     2   2*x    |         
 |  \  4*x           /         
 |                             
/                              
0                              

-1.03449275846145e+19

  /                                                  
 |                                                   
 | /   3      9     \                 3    9*log(2*x)
 | |- ---- + --- - 6| dx = C - 6*x + --- + ----------
 | |     2   2*x    |                4*x       2     
 | \  4*x           /                                
 |                                                   
/