(x+2)^2*1/(x-1)*(x+5)>0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x+2)^2*1/(x-1)*(x+5)>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
           2            
    (x + 2)             
    --------*(x + 5) > 0
     x - 1              
    $$\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x - 1} \left(x + 5\right) > 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x - 1} \left(x + 5\right) > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x - 1} \left(x + 5\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x - 1} \left(x + 5\right) = 0$$
    знаменатель
    $$x - 1$$
    тогда
    x не равен 1

    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x + 5 = 0$$
    $$x + 2 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x + 5 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -5$$
    Получим ответ: x1 = -5
    3.
    $$x + 2 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -2$$
    Получим ответ: x2 = -2
    но
    x не равен 1

    $$x_{1} = -5$$
    $$x_{2} = -2$$
    $$x_{1} = -5$$
    $$x_{2} = -2$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -5$$
    $$x_{2} = -2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{51}{10}$$
    =
    $$- \frac{51}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x - 1} \left(x + 5\right) > 0$$
    $$\frac{\left(- \frac{51}{10} + 2\right)^{2}}{- \frac{51}{10} - 1} \left(- \frac{51}{10} + 5\right) > 0$$
    961     
    ---- > 0
    6100    

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < -5$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < -5$$
    $$x > -2$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-oo < x, x < -5), And(1 < x, x < oo))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < -5\right) \vee \left(1 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, -5) U (1, oo)
    $$x \in \left(-\infty, -5\right) \cup \left(1, \infty\right)$$