log(5)*1/log(x^2-3*x-4)+2*1/(log(3)*1/log(2))<=0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: log(5)*1/log(x^2-3*x-4)+2*1/(log(3)*1/log(2))<=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
          log(5)           2         
    ----------------- + -------- <= 0
       / 2          \   /log(3)\     
    log\x  - 3*x - 4/   |------|     
                        \log(2)/     
    $$\frac{2}{\frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (3 \right )}} + \frac{\log{\left (5 \right )}}{\log{\left (x^{2} - 3 x - 4 \right )}} \leq 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{2}{\frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (3 \right )}} + \frac{\log{\left (5 \right )}}{\log{\left (x^{2} - 3 x - 4 \right )}} \leq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{2}{\frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (3 \right )}} + \frac{\log{\left (5 \right )}}{\log{\left (x^{2} - 3 x - 4 \right )}} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{2}{\frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (3 \right )}} + \frac{\log{\left (5 \right )}}{\log{\left (x^{2} - 3 x - 4 \right )}} = 0$$
    преобразуем
    $$\frac{\log{\left (4 \right )}}{\log{\left (3 \right )}} + \frac{\log{\left (5^{\log{\left (3 \right )}} \right )}}{\log{\left (3 \right )} \log{\left (x^{2} - 3 x - 4 \right )}} = 0$$
    $$\frac{2}{\frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (3 \right )}} + \frac{\log{\left (5 \right )}}{\log{\left (x^{2} - 3 x - 4 \right )}} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (x^{2} - 3 x - 4 \right )}$$
    Дано уравнение
    $$\frac{2}{\frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (3 \right )}} + \frac{\log{\left (5 \right )}}{\log{\left (x^{2} - 3 x - 4 \right )}} = 0$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = -1 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень -1-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\frac{1}{\frac{1}{0 w + \log{\left (x^{2} - 3 x - 4 \right )}} \log{\left (5 \right )}} = \frac{1}{-1 \cdot 2 \log{\left (2 \right )} \frac{1}{\log{\left (3 \right )}}}$$
    или
    $$\frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \log{\left (x^{2} - 3 x - 4 \right )} = - \frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}}$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    log-4+x+2+3*xlog5 = -log(3)/(2*log(2))

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    log-4+x+2+3*xlog5 = -log32*log+2)

    Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:
    log(-4 + x^2 - 3*x)/log(5) = -log32*log+2)

    Переносим свободные слагаемые (без w)
    из левой части в правую, получим:
           /      2      \                
        log\-4 + x  - 3*x/         log(3) 
    4 + ------------------ = 4 - ---------
                1                     1   
             log (5)             2*log (2)

    Данное ур-ние не имеет решений

    делаем обратную замену
    $$\log{\left (x^{2} - 3 x - 4 \right )} = w$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 + 25 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}}}{2 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{4 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{4 + 25 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}}}{2 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{4 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}} + \frac{3}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 + 25 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}}}{2 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{4 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{4 + 25 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}}}{2 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{4 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}} + \frac{3}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{4 + 25 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}}}{2 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{4 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}} + \frac{3}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 + 25 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}}}{2 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{4 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
                                 _________________________     
             /     1    \       /            /     1    \      
             | ---------|      /             | ---------|      
             |      1   |     /              |      1   |      
             | 4*log (2)|    /               | 2*log (2)|      
         -log\3         /   /             log\3         /      
    3   5                *\/      4 + 25*5                   1 
    - - -------------------------------------------------- - --
    2                           2                            10

    =
    $$- \frac{\sqrt{4 + 25 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}}}{2 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{4 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}} + \frac{7}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{2}{\frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (3 \right )}} + \frac{\log{\left (5 \right )}}{\log{\left (x^{2} - 3 x - 4 \right )}} \leq 0$$
                                                                      log(5)                                                                         2          
    ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ + ---------- <= 0
        /                                                             2                                                                      \            1     
        |/                             _________________________     \      /                             _________________________     \    |   / log(3)\      
        ||         /     1    \       /            /     1    \      |      |         /     1    \       /            /     1    \      |    |   |-------|      
        ||         | ---------|      /             | ---------|      |      |         | ---------|      /             | ---------|      |    |   |   1   |      
        ||         |      1   |     /              |      1   |      |      |         |      1   |     /              |      1   |      |    |   \log (2)/      
        ||         | 4*log (2)|    /               | 2*log (2)|      |      |         | 4*log (2)|    /               | 2*log (2)|      |    |                  
        ||     -log\3         /   /             log\3         /      |      |     -log\3         /   /             log\3         /      |    |                  
       1||3   5                *\/      4 + 25*5                   1 |      |3   5                *\/      4 + 25*5                   1 |    |                  
    log ||- - -------------------------------------------------- - --|  - 3*|- - -------------------------------------------------- - --| - 4|                  
        \\2                           2                            10/      \2                           2                            10/    /                  

                                                            log(5)                                                           2*log(2)     
    ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + --------     
       /                                                            2                                                    \    log(3)      
       |       /                           ________________________\                             ________________________|                
       |       |         /    1    \      /            /    1    \ |           /    1    \      /            /    1    \ |                
       |       |         | --------|     /             | --------| |           | --------|     /             | --------| |            <= 0
       |       |         | 4*log(2)|    /              | 2*log(2)| |           | 4*log(2)|    /              | 2*log(2)| |                
       |       |     -log\3        /   /            log\3        / |       -log\3        /   /            log\3        / |                
       |  41   |7   5               *\/     4 + 25*5               |    3*5               *\/     4 + 25*5               |                
    log|- -- + |- - -----------------------------------------------|  + -------------------------------------------------|                
       \  5    \5                          2                       /                            2                        /                

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq - \frac{\sqrt{4 + 25 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}}}{2 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{4 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}} + \frac{3}{2}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------•-------•-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq - \frac{\sqrt{4 + 25 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}}}{2 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{4 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}} + \frac{3}{2}$$
    $$x \geq \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 + 25 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}}}{2 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{4 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /                           ________________________                     \     /                                ________________________                \\
      |   |         /    1    \      /            /    1    \                      |     |              /    1    \      /            /    1    \                 ||
      |   |         | --------|     /             | --------|                      |     |              | --------|     /             | --------|                 ||
      |   |         | 4*log(2)|    /              | 2*log(2)|                      |     |              | 4*log(2)|    /              | 2*log(2)|                 ||
      |   |     -log\3        /   /            log\3        /                  ____|     |          -log\3        /   /            log\3        /         ____    ||
      |   |3   5               *\/     4 + 25*5                          3   \/ 29 |     |     3   5               *\/     4 + 25*5                 3   \/ 29     ||
    Or|And|- + ----------------------------------------------- <= x, x < - + ------|, And|x <= - - -----------------------------------------------, - - ------ < x||
      \   \2                          2                                  2     2   /     \     2                          2                         2     2       //
    $$\left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 + 25 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}}}{2 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{4 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}} \leq x \wedge x < \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}\right) \vee \left(x \leq - \frac{\sqrt{4 + 25 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{2 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}}}{2 \cdot 5^{\log{\left (3^{\frac{1}{4 \log{\left (2 \right )}}} \right )}}} + \frac{3}{2} \wedge - \frac{\sqrt{29}}{2} + \frac{3}{2} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                                    __________________                        __________________             
                      -log(3)      /          log(3)            -log(3)      /          log(3)               
                      --------    /          --------           --------    /          --------              
           ____       4*log(2)   /           2*log(2)           4*log(2)   /           2*log(2)         ____ 
     3   \/ 29   3   5        *\/    4 + 25*5              3   5        *\/    4 + 25*5           3   \/ 29  
    (- - ------, - - ---------------------------------] U [- + ---------------------------------, - + ------)
     2     2     2                   2                     2                   2                  2     2    
    $$x \in \left(- \frac{\sqrt{29}}{2} + \frac{3}{2}, - \frac{\sqrt{4 + 25 \cdot 5^{\frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}}}}}{2 \cdot 5^{\frac{\log{\left (3 \right )}}{4 \log{\left (2 \right )}}}} + \frac{3}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{4 + 25 \cdot 5^{\frac{\log{\left (3 \right )}}{2 \log{\left (2 \right )}}}}}{2 \cdot 5^{\frac{\log{\left (3 \right )}}{4 \log{\left (2 \right )}}}}, \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2}\right)$$