sin(pi*1/3+2*x)+sin(pi*1/6-2*x)>=0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: sin(pi*1/3+2*x)+sin(pi*1/6-2*x)>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
       /pi      \      /pi      \     
    sin|-- + 2*x| + sin|-- - 2*x| >= 0
       \3       /      \6       /     
    $$\sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} + \sin{\left (- 2 x + \frac{\pi}{6} \right )} \geq 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} + \sin{\left (- 2 x + \frac{\pi}{6} \right )} \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} + \sin{\left (- 2 x + \frac{\pi}{6} \right )} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} + \sin{\left (- 2 x + \frac{\pi}{6} \right )} = 0$$
    преобразуем:
    $$\frac{\sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )}}{\cos{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )}} = -1$$
    или
    $$\tan{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} = -1$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$2 x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \operatorname{atan}{\left (1 \right )}$$
    Или
    $$2 x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \frac{\pi}{4}$$
    , где n - любое целое число
    Перенесём
    $$\frac{\pi}{3}$$
    в правую часть ур-ния
    с противоположным знаком, итого:
    $$2 x = \pi n - \frac{\pi}{12}$$
    Разделим обе части полученного ур-ния на
    $$2$$
    $$x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{24}$$
    $$x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{24}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{24}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
      pi   pi*n   1 
    - -- + ---- - --
      24    2     10

    =
    $$\frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{24} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\sin{\left (2 x + \frac{\pi}{3} \right )} + \sin{\left (- 2 x + \frac{\pi}{6} \right )} \geq 0$$
       /pi     /  pi   pi*n   1 \\      /pi     /  pi   pi*n   1 \\     
    sin|-- + 2*|- -- + ---- - --|| + sin|-- - 2*|- -- + ---- - --|| >= 0
       \3      \  24    2     10//      \6      \  24    2     10//     

       /  1   pi       \      /1   pi       \     
    sin|- - + -- + pi*n| + sin|- + -- - pi*n| >= 0
       \  5   4        /      \5   4        /     

    но
       /  1   pi       \      /1   pi       \    
    sin|- - + -- + pi*n| + sin|- + -- - pi*n| < 0
       \  5   4        /      \5   4        /    

    Тогда
    $$x \leq \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{24}$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x \geq \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{24}$$
             _____  
            /
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
       /-7*pi            5*pi\
    And|----- <= x, x <= ----|
       \  24              24 /
    $$- \frac{7 \pi}{24} \leq x \wedge x \leq \frac{5 \pi}{24}$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
     -7*pi  5*pi 
    [-----, ----]
       24    24  
    $$x \in \left[- \frac{7 \pi}{24}, \frac{5 \pi}{24}\right]$$