x+6*1/(5*x+10)*(x-6)>=0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: x+6*1/(5*x+10)*(x-6)>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
           6                 
    x + --------*(x - 6) >= 0
        5*x + 10             
    $$x + \left(x - 6\right) \frac{6}{5 x + 10} \geq 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$x + \left(x - 6\right) \frac{6}{5 x + 10} \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$x + \left(x - 6\right) \frac{6}{5 x + 10} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$x + \left(x - 6\right) \frac{6}{5 x + 10} = 0$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
    10 + 5*x
    получим:
    $$\left(x + \left(x - 6\right) \frac{6}{5 x + 10}\right) \left(5 x + 10\right) = 0$$
    $$5 x^{2} + 16 x - 36 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 5$$
    $$b = 16$$
    $$c = -36$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (16)^2 - 4 * (5) * (-36) = 976

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = - \frac{8}{5} + \frac{2 \sqrt{61}}{5}$$
    $$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{61}}{5} - \frac{8}{5}$$
    $$x_{1} = - \frac{8}{5} + \frac{2 \sqrt{61}}{5}$$
    $$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{61}}{5} - \frac{8}{5}$$
    $$x_{1} = - \frac{8}{5} + \frac{2 \sqrt{61}}{5}$$
    $$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{61}}{5} - \frac{8}{5}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{2 \sqrt{61}}{5} - \frac{8}{5}$$
    $$x_{1} = - \frac{8}{5} + \frac{2 \sqrt{61}}{5}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
              ____     
      8   2*\/ 61    1 
    - - - -------- - --
      5      5       10

    =
    $$- \frac{2 \sqrt{61}}{5} - \frac{17}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$x + \left(x - 6\right) \frac{6}{5 x + 10} \geq 0$$
              ____                                        /          ____         \     
      8   2*\/ 61    1                   6                |  8   2*\/ 61    1     |     
    - - - -------- - -- + -------------------------------*|- - - -------- - -- - 6| >= 0
      5      5       10                                 1 \  5      5       10    /     
                          /  /          ____     \     \                                
                          |  |  8   2*\/ 61    1 |     |                                
                          |5*|- - - -------- - --| + 10|                                
                          \  \  5      5       10/     /                                

                        /           ____\     
                        |  77   2*\/ 61 |     
               ____   6*|- -- - --------|     
      17   2*\/ 61      \  10      5    /     
    - -- - -------- + ------------------- >= 0
      10      5           3       ____        
                          - - 2*\/ 61         
                          2                   
         

    но
                        /           ____\    
                        |  77   2*\/ 61 |    
               ____   6*|- -- - --------|    
      17   2*\/ 61      \  10      5    /    
    - -- - -------- + ------------------- < 0
      10      5           3       ____       
                          - - 2*\/ 61        
                          2                  
        

    Тогда
    $$x \leq - \frac{2 \sqrt{61}}{5} - \frac{8}{5}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq - \frac{2 \sqrt{61}}{5} - \frac{8}{5} \wedge x \leq - \frac{8}{5} + \frac{2 \sqrt{61}}{5}$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /          ____             \     /          ____             \\
      |   |  8   2*\/ 61              |     |  8   2*\/ 61              ||
    Or|And|- - - -------- <= x, x < -2|, And|- - + -------- <= x, x < oo||
      \   \  5      5                 /     \  5      5                 //
    $$\left(- \frac{2 \sqrt{61}}{5} - \frac{8}{5} \leq x \wedge x < -2\right) \vee \left(- \frac{8}{5} + \frac{2 \sqrt{61}}{5} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
               ____                   ____     
       8   2*\/ 61            8   2*\/ 61      
    [- - - --------, -2) U [- - + --------, oo)
       5      5               5      5         
    $$x \in \left[- \frac{2 \sqrt{61}}{5} - \frac{8}{5}, -2\right) \cup \left[- \frac{8}{5} + \frac{2 \sqrt{61}}{5}, \infty\right)$$