2*1/|x-4|<=1 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 2*1/|x-4|<=1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
       2        
    ------- <= 1
    |x - 4|     
    $$\frac{2}{\left|{x - 4}\right|} \leq 1$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{2}{\left|{x - 4}\right|} \leq 1$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{2}{\left|{x - 4}\right|} = 1$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{2}{\left|{x - 4}\right|} = 1$$
    преобразуем
    $$-1 + \frac{2}{\left|{x - 4}\right|} = 0$$
    $$-1 + \frac{2}{\left|{x - 4}\right|} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \left|{x - 4}\right|$$
    Дано уравнение:
    $$-1 + \frac{2}{\left|{x - 4}\right|} = 0$$
    Используем правило пропорций:
    Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
    В нашем случае
    a1 = 2

    b1 = |-4 + x|

    a2 = 1

    b2 = 1

    зн. получим ур-ние
    $$2 = \left|{x - 4}\right|$$
    $$2 = \left|{x - 4}\right|$$
    Переносим свободные слагаемые (без w)
    из левой части в правую, получим:
    $$0 = \left|{x - 4}\right| - 2$$
    Данное ур-ние не имеет решений
    делаем обратную замену
    $$\left|{x - 4}\right| = w$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = 2$$
    $$x_{2} = 6$$
    $$x_{1} = 2$$
    $$x_{2} = 6$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 2$$
    $$x_{2} = 6$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$1.9$$
    =
    $$1.9$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{2}{\left|{x - 4}\right|} \leq 1$$
    $$\frac{2}{\left|{-4 + 1.9}\right|} \leq 1$$
    0.952380952380952 <= 1

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq 2$$
     _____           _____          
          \         /
    -------•-------•-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq 2$$
    $$x \geq 6$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(6 <= x, x < oo), And(x <= 2, -oo < x))
    $$\left(6 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq 2 \wedge -\infty < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, 2] U [6, oo)
    $$x \in \left(-\infty, 2\right] \cup \left[6, \infty\right)$$