(|x^2-4*x|+3)*1/(x^2+|x|+5)>=1 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (|x^2-4*x|+3)*1/(x^2+|x|+5)>=1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
    | 2      |         
    |x  - 4*x| + 3     
    -------------- >= 1
      2                
     x  + |x| + 5      
    $$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} \geq 1$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} \geq 1$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} = 1$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} = 1$$
    преобразуем
    $$\frac{1}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} \left(- x^{2} - \left|{x}\right| + \left|{x \left(x - 4\right)}\right| - 2\right) = 0$$
    $$-1 + \frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \left|{x^{2} - 4 x}\right|$$
    Дано уравнение:
    $$-1 + \frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} = 0$$
    Используем правило пропорций:
    Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
    В нашем случае
    a1 = 3 + |x^2 - 4*x|

    b1 = 5 + x^2 + |x|

    a2 = 1

    b2 = 1

    зн. получим ур-ние
    $$\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3 = x^{2} + \left|{x}\right| + 5$$
    $$\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3 = x^{2} + \left|{x}\right| + 5$$
    Переносим свободные слагаемые (без w)
    из левой части в правую, получим:
    | 2      |        2      
    |x  - 4*x| = 2 + x  + |x|

    Данное ур-ние не имеет решений
    делаем обратную замену
    $$\left|{x^{2} - 4 x}\right| = w$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = -0.666666666667$$
    $$x_{1} = -0.666666666667$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -0.666666666667$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$-0.766666666667$$
    =
    $$-0.766666666667$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\left|{x^{2} - 4 x}\right| + 3}{x^{2} + \left|{x}\right| + 5} \geq 1$$
     |               2                    |         
     |-0.766666666667  - 4*-0.766666666667| + 3     
    ------------------------------------------- >= 1
                                              1     
    /               2                        \      
    \-0.766666666667  + |-0.766666666667| + 5/      

    1.04721105088317 >= 1

    значит решение неравенства будет при:
    $$x \leq -0.666666666667$$
     _____          
          \    
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    And(x <= -2/3, -oo < x)
    $$x \leq - \frac{2}{3} \wedge -\infty < x$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, -2/3]
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]$$