-1/(x+1)>=(x^2-3*x-2)*1/(x+1)*(x+3) (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: -1/(x+1)>=(x^2-3*x-2)*1/(x+1)*(x+3) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
              2                  
     -1      x  - 3*x - 2        
    ----- >= ------------*(x + 3)
    x + 1       x + 1            
    $$- \frac{1}{x + 1} \geq \frac{x^{2} - 3 x - 2}{x + 1} \left(x + 3\right)$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$- \frac{1}{x + 1} \geq \frac{x^{2} - 3 x - 2}{x + 1} \left(x + 3\right)$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$- \frac{1}{x + 1} = \frac{x^{2} - 3 x - 2}{x + 1} \left(x + 3\right)$$
    Решаем:
    $$x_{1} = \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}} + \frac{11}{3 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}}$$
    $$x_{2} = \frac{11}{3 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}} + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}$$
    $$x_{3} = \frac{11}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}$$
    Исключаем комплексные решения:
    $$x_{1} = \frac{11}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{11}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{11}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}$$
    =
    $$- \frac{1}{10} + \frac{11}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}$$
    подставляем в выражение
    $$- \frac{1}{x + 1} \geq \frac{x^{2} - 3 x - 2}{x + 1} \left(x + 3\right)$$
                                                                                                                             2                                                                                                                              
                                                                     /     _________________                                \      /     _________________                                \                                                                 
                                                                     |    /         _______                                 |      |    /         _______                                 |                                                                 
                                                                     |   /  5   I*\/ 13947                11              1 |      |   /  5   I*\/ 13947                11              1 |                                                                 
                                                                     |3 /   - + -----------  + ------------------------ - --|  - 3*|3 /   - + -----------  + ------------------------ - --| - 2                                                             
                                                                     |\/    2        18               _________________   10|      |\/    2        18               _________________   10|                                                                 
                                                                     |                               /         _______      |      |                               /         _______      |                                                                 
                                                                     |                              /  5   I*\/ 13947       |      |                              /  5   I*\/ 13947       |     /     _________________                                    \
                                                                     |                         3*3 /   - + -----------      |      |                         3*3 /   - + -----------      |     |    /         _______                                     |
                                 -1                                  \                           \/    2        18          /      \                           \/    2        18          /     |   /  5   I*\/ 13947                11              1     |
    ------------------------------------------------------------- >= --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------*|3 /   - + -----------  + ------------------------ - -- + 3|
                                                                1                                                                                              1                                |\/    2        18               _________________   10    |
    /     _________________                                    \                                   /     _________________                                    \                                 |                               /         _______          |
    |    /         _______                                     |                                   |    /         _______                                     |                                 |                              /  5   I*\/ 13947           |
    |   /  5   I*\/ 13947                11              1     |                                   |   /  5   I*\/ 13947                11              1     |                                 |                         3*3 /   - + -----------          |
    |3 /   - + -----------  + ------------------------ - -- + 1|                                   |3 /   - + -----------  + ------------------------ - -- + 1|                                 \                           \/    2        18              /
    |\/    2        18               _________________   10    |                                   |\/    2        18               _________________   10    |                                                                                             
    |                               /         _______          |                                   |                               /         _______          |                                                                                             
    |                              /  5   I*\/ 13947           |                                   |                              /  5   I*\/ 13947           |                                                                                             
    |                         3*3 /   - + -----------          |                                   |                         3*3 /   - + -----------          |                                                                                             
    \                           \/    2        18              /                                   \                           \/    2        18              /                                                                                             

                                                                                                                       /                                                                 2                                                    \
                                                              /          _________________                           \ |       /            _________________                           \                                    _________________|
                                                              |         /         _______                            | |       |           /         _______                            |                                   /         _______ |
                                                              |29      /  5   I*\/ 13947                11           | |  17   |  1       /  5   I*\/ 13947                11           |              11                  /  5   I*\/ 13947  |
                                                              |-- + 3 /   - + -----------  + ------------------------|*|- -- + |- -- + 3 /   - + -----------  + ------------------------|  - ---------------------- - 3*3 /   - + ----------- |
                             -1                               |10   \/    2        18               _________________| |  10   |  10   \/    2        18               _________________|         _________________     \/    2        18     |
    ------------------------------------------------------    |                                    /         _______ | |       |                                      /         _______ |        /         _______                            |
              _________________                               |                                   /  5   I*\/ 13947  | |       |                                     /  5   I*\/ 13947  |       /  5   I*\/ 13947                             |
             /         _______                                |                              3*3 /   - + ----------- | |       |                                3*3 /   - + ----------- |    3 /   - + -----------                            |
    9       /  5   I*\/ 13947                11               \                                \/    2        18     / \       \                                  \/    2        18     /    \/    2        18                                /
    -- + 3 /   - + -----------  + ------------------------ >= ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    10   \/    2        18               _________________                                                                            _________________                                                                                        
                                        /         _______                                                                            /         _______                                                                                         
                                       /  5   I*\/ 13947                                                                    9       /  5   I*\/ 13947                11                                                                        
                                  3*3 /   - + -----------                                                                   -- + 3 /   - + -----------  + ------------------------                                                             
                                    \/    2        18                                                                       10   \/    2        18               _________________                                                             
                                                                                                                                                                /         _______                                                              
                                                                                                                                                               /  5   I*\/ 13947                                                               
                                                                                                                                                          3*3 /   - + -----------                                                              
                                                                                                                                                            \/    2        18                                                                  
                                                              

    Тогда
    $$x \leq \frac{11}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x \geq \frac{11}{3 \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{13947} i}{18}}$$
             _____  
            /
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /            /      3          \         /      3          \     \     /       /      3          \             \\
    Or\And\x <= CRootOf\-5 + x  - 11*x, 2/, CRootOf\-5 + x  - 11*x, 1/ <= x/, And\CRootOf\-5 + x  - 11*x, 0/ <= x, x < -1//
    $$\left(x \leq \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 11 x - 5, 2\right)} \wedge \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 11 x - 5, 1\right)} \leq x\right) \vee \left(\operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 11 x - 5, 0\right)} \leq x \wedge x < -1\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
            /      3          \                /      3          \         /      3          \ 
    [CRootOf\-5 + x  - 11*x, 0/, -1) U [CRootOf\-5 + x  - 11*x, 1/, CRootOf\-5 + x  - 11*x, 2/]
    $$x \in \left[\operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 11 x - 5, 0\right)}, -1\right) \cup \left[\operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 11 x - 5, 1\right)}, \operatorname{CRootOf} {\left(x^{3} - 11 x - 5, 2\right)}\right]$$