(x+8)*1/(x-4)*(7*x+5)<0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x+8)*1/(x-4)*(7*x+5)<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    x + 8              
    -----*(7*x + 5) < 0
    x - 4              
    $$\frac{x + 8}{x - 4} \left(7 x + 5\right) < 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{x + 8}{x - 4} \left(7 x + 5\right) < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{x + 8}{x - 4} \left(7 x + 5\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{x + 8}{x - 4} \left(7 x + 5\right) = 0$$
    знаменатель
    $$x - 4$$
    тогда
    x не равен 4

    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x + 8 = 0$$
    $$7 x + 5 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x + 8 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -8$$
    Получим ответ: x1 = -8
    3.
    $$7 x + 5 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$7 x = -5$$
    Разделим обе части ур-ния на 7
    x = -5 / (7)

    Получим ответ: x2 = -5/7
    но
    x не равен 4

    $$x_{1} = -8$$
    $$x_{2} = - \frac{5}{7}$$
    $$x_{1} = -8$$
    $$x_{2} = - \frac{5}{7}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -8$$
    $$x_{2} = - \frac{5}{7}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{81}{10}$$
    =
    $$- \frac{81}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{x + 8}{x - 4} \left(7 x + 5\right) < 0$$
    $$\frac{- \frac{81}{10} + 8}{- \frac{81}{10} - 4} \left(\frac{-567}{10} 1 + 5\right) < 0$$
    -47     
    ---- < 0
    110     

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < -8$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < -8$$
    $$x > - \frac{5}{7}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-oo < x, x < -8), And(-5/7 < x, x < 4))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < -8\right) \vee \left(- \frac{5}{7} < x \wedge x < 4\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-oo, -8) U (-5/7, 4)
    $$x \in \left(-\infty, -8\right) \cup \left(- \frac{5}{7}, 4\right)$$