log(x)*1/log(512)<=log(66*1/x/25) (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: log(x)*1/log(512)<=log(66*1/x/25) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                   //66\\
                   ||--||
     log(x)        |\x /|
    -------- <= log|----|
    log(512)       \ 25 /
    $$\frac{\log{\left (x \right )}}{\log{\left (512 \right )}} \leq \log{\left (\frac{66 \frac{1}{x}}{25} \right )}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\log{\left (x \right )}}{\log{\left (512 \right )}} \leq \log{\left (\frac{66 \frac{1}{x}}{25} \right )}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\log{\left (x \right )}}{\log{\left (512 \right )}} = \log{\left (\frac{66 \frac{1}{x}}{25} \right )}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{\log{\left (x \right )}}{\log{\left (512 \right )}} = \log{\left (\frac{66 \frac{1}{x}}{25} \right )}$$
    преобразуем
    $$- \log{\left (\frac{66}{25 x} \right )} + \frac{\log{\left (x \right )}}{\log{\left (512 \right )}} = 0$$
    $$\frac{\log{\left (x \right )}}{\log{\left (512 \right )}} - \log{\left (\frac{66 \frac{1}{x}}{25} \right )} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (\frac{66}{25 x} \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$\frac{\log{\left (x \right )}}{\log{\left (512 \right )}} - \log{\left (\frac{66 \frac{1}{x}}{25} \right )} = 0$$
    Используем правило пропорций:
    Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
    В нашем случае
    a1 = log(x)

    b1 = log(512)

    a2 = 1

    b2 = 1/log(66/(25*x))

    зн. получим ур-ние
    $$\frac{\log{\left (x \right )}}{\log{\left (\frac{66}{25 x} \right )}} = \log{\left (512 \right )}$$
    $$\frac{\log{\left (x \right )}}{\log{\left (\frac{66}{25 x} \right )}} = \log{\left (512 \right )}$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    logxlog66/+25*x) = log(512)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    logxlog66/+25*x) = log512

    Данное ур-ние не имеет решений
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (\frac{66}{25 x} \right )} = w$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = 2^{\frac{- \log{\left (3814697265625 \right )} + \log{\left (23762680013799936 \right )}}{1 + \log{\left (512 \right )}}}$$
    $$x_{1} = 2^{\frac{- \log{\left (3814697265625 \right )} + \log{\left (23762680013799936 \right )}}{1 + \log{\left (512 \right )}}}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 2^{\frac{- \log{\left (3814697265625 \right )} + \log{\left (23762680013799936 \right )}}{1 + \log{\left (512 \right )}}}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
     -log(3814697265625) + log(23762680013799936)     
     --------------------------------------------     
                                 1                    
                   (1 + log(512))                   1 
    2                                             - --
                                                    10

    =
    $$- \frac{1}{10} + 2^{\frac{- \log{\left (3814697265625 \right )} + \log{\left (23762680013799936 \right )}}{1 + \log{\left (512 \right )}}}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\log{\left (x \right )}}{\log{\left (512 \right )}} \leq \log{\left (\frac{66 \frac{1}{x}}{25} \right )}$$
                                                                  //                          66                         \\
                                                                  ||-----------------------------------------------------||
                                                                  ||                                                    1||
       / -log(3814697265625) + log(23762680013799936)     \       ||/ -log(3814697265625) + log(23762680013799936)     \ ||
       | --------------------------------------------     |       ||| --------------------------------------------     | ||
       |                             1                    |       |||                             1                    | ||
       |               (1 + log(512))                   1 |       |||               (1 + log(512))                   1 | ||
    log|2                                             - --|       |||2                                             - --| ||
       \                                                10/       |\\                                                10/ /|
    ------------------------------------------------------- <= log|-------------------------------------------------------|
                              1                                   |                            1                          |
                           log (512)                              \                          25                           /

       /        -log(3814697265625) + log(23762680013799936)\       /                            66                           \
       |        --------------------------------------------|    log|---------------------------------------------------------|
       |  1                     1 + log(512)                |       |   /        -log(3814697265625) + log(23762680013799936)\|
    log|- -- + 2                                            | <=    |   |        --------------------------------------------||
       \  10                                                /       |   |  1                     1 + log(512)                ||
    ---------------------------------------------------------       |25*|- -- + 2                                            ||
                             log(512)                               \   \  10                                                //

    значит решение неравенства будет при:
    $$x \leq 2^{\frac{- \log{\left (3814697265625 \right )} + \log{\left (23762680013799936 \right )}}{1 + \log{\left (512 \right )}}}$$
     _____          
          \    
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       /      -log(3814697265625) + log(23762680013799936)       \
       |      --------------------------------------------       |
       |                      1 + log(512)                       |
    And\x <= 2                                            , 0 < x/
    $$x \leq 2^{\frac{- \log{\left (3814697265625 \right )} + \log{\left (23762680013799936 \right )}}{1 + \log{\left (512 \right )}}} \wedge 0 < x$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
         -log(3814697265625) + log(23762680013799936) 
         -------------------------------------------- 
                         1 + log(512)                 
    (0, 2                                            ]
    $$x \in \left(0, 2^{\frac{- \log{\left (3814697265625 \right )} + \log{\left (23762680013799936 \right )}}{1 + \log{\left (512 \right )}}}\right]$$