(8*x-4-3*x^2)*1/(x-1)<=3*x+2 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: (8*x-4-3*x^2)*1/(x-1)<=3*x+2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                 2           
    8*x - 4 - 3*x            
    -------------- <= 3*x + 2
        x - 1                
    $$\frac{1}{x - 1} \left(- 3 x^{2} + 8 x - 4\right) \leq 3 x + 2$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{1}{x - 1} \left(- 3 x^{2} + 8 x - 4\right) \leq 3 x + 2$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{1}{x - 1} \left(- 3 x^{2} + 8 x - 4\right) = 3 x + 2$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{1}{x - 1} \left(- 3 x^{2} + 8 x - 4\right) = 3 x + 2$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
    -1 + x
    получим:
    $$\frac{1}{x - 1} \left(x - 1\right) \left(- 3 x^{2} + 8 x - 4\right) = \left(x - 1\right) \left(3 x + 2\right)$$
    $$- 3 x^{2} + 8 x - 4 = \left(x - 1\right) \left(3 x + 2\right)$$
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$- 3 x^{2} + 8 x - 4 = \left(x - 1\right) \left(3 x + 2\right)$$
    в
    $$- 6 x^{2} + 9 x - 2 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -6$$
    $$b = 9$$
    $$c = -2$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (9)^2 - 4 * (-6) * (-2) = 33

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = - \frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4}$$
    $$x_{2} = \frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4}$$
    $$x_{1} = - \frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4}$$
    $$x_{2} = \frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4}$$
    $$x_{1} = - \frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4}$$
    $$x_{2} = \frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4}$$
    $$x_{2} = \frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
          ____     
    3   \/ 33    1 
    - - ------ - --
    4     12     10

    =
    $$- \frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{13}{20}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{1}{x - 1} \left(- 3 x^{2} + 8 x - 4\right) \leq 3 x + 2$$
                                                 2                           
      /      ____     \         /      ____     \                            
      |3   \/ 33    1 |         |3   \/ 33    1 |                            
    8*|- - ------ - --| - 4 - 3*|- - ------ - --|       /      ____     \    
      \4     12     10/         \4     12     10/       |3   \/ 33    1 |    
    ---------------------------------------------- <= 3*|- - ------ - --| + 2
                                     1                  \4     12     10/    
                /      ____         \                                        
                |3   \/ 33    1     |                                        
                |- - ------ - -- - 1|                                        
                \4     12     10    /                                        

                       2                          
          /       ____\        ____               
    6     |13   \/ 33 |    2*\/ 33                
    - - 3*|-- - ------|  - --------           ____
    5     \20     12  /       3        79   \/ 33 
    ------------------------------- <= -- - ------
                      ____             20     4   
               7    \/ 33              
             - -- - ------                        
               20     12                          
                   

    но
                       2                          
          /       ____\        ____               
    6     |13   \/ 33 |    2*\/ 33                
    - - 3*|-- - ------|  - --------           ____
    5     \20     12  /       3        79   \/ 33 
    ------------------------------- >= -- - ------
                      ____             20     4   
               7    \/ 33              
             - -- - ------                        
               20     12                          
                   

    Тогда
    $$x \leq - \frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq - \frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4} \wedge x \leq \frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4}$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /      ____            \     /      ____             \\
      |   |3   \/ 33             |     |3   \/ 33              ||
    Or|And|- - ------ <= x, x < 1|, And|- + ------ <= x, x < oo||
      \   \4     12              /     \4     12               //
    $$\left(- \frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4} \leq x \wedge x < 1\right) \vee \left(\frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
           ____              ____     
     3   \/ 33         3   \/ 33      
    [- - ------, 1) U [- + ------, oo)
     4     12          4     12       
    $$x \in \left[- \frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4}, 1\right) \cup \left[\frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4}, \infty\right)$$