log(7)*1/log(2*x*x+12)-log(7)*1/log(x*x-x+12)>=log(7)*1/log(2-1/x) (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: log(7)*1/log(2*x*x+12)-log(7)*1/log(x*x-x+12)>=log(7)*1/log(2-1/x) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
         log(7)             log(7)           log(7)  
    --------------- - ----------------- >= ----------
    log(2*x*x + 12)   log(x*x - x + 12)       /    1\
                                           log|2 - -|
                                              \    x/
    $$- \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (- x + x x + 12 \right )}} + \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (x 2 x + 12 \right )}} \geq \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (2 - \frac{1}{x} \right )}}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$- \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (- x + x x + 12 \right )}} + \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (x 2 x + 12 \right )}} \geq \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (2 - \frac{1}{x} \right )}}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$- \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (- x + x x + 12 \right )}} + \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (x 2 x + 12 \right )}} = \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (2 - \frac{1}{x} \right )}}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$- \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (- x + x x + 12 \right )}} + \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (x 2 x + 12 \right )}} = \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (2 - \frac{1}{x} \right )}}$$
    преобразуем
    $$- \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (x^{2} - x + 12 \right )}} + \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (2 x^{2} + 12 \right )}} - \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (2 - \frac{1}{x} \right )}} = 0$$
    $$- \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (- x + x x + 12 \right )}} + \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (x 2 x + 12 \right )}} - \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (2 - \frac{1}{x} \right )}} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \log{\left (x^{2} - x + 12 \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$- \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (- x + x x + 12 \right )}} + \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (x 2 x + 12 \right )}} - \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (2 - \frac{1}{x} \right )}} = 0$$
    Используем правило пропорций:
    Из a1/b1 = a2/b2 следует a1*b2 = a2*b1,
    В нашем случае
    a1 = -log(7)

    b1 = log(12 + x^2 - x)

    a2 = 1

    b2 = 1/(log(7)/log(2 - 1/x) - log(7)/log(12 + 2*x^2))

    зн. получим ур-ние
    $$\frac{-1 \log{\left (7 \right )}}{- \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (2 x^{2} + 12 \right )}} + \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (2 - \frac{1}{x} \right )}}} = \log{\left (x^{2} - x + 12 \right )}$$
    $$- \frac{\log{\left (7 \right )}}{- \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (2 x^{2} + 12 \right )}} + \frac{\log{\left (7 \right )}}{\log{\left (2 - \frac{1}{x} \right )}}} = \log{\left (x^{2} - x + 12 \right )}$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    -log7log+7log2+1/x - log7log12+2*x+2) = log(12 + x^2 - x)

    Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
    -log7log+7log2+1/x - log7log12+2*x+2) = log12+x+2+x

    Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:
    -log(7)/(log(7)/log(2 - 1/x) - log(7)/log(12 + 2*x^2)) = log12+x+2+x

    Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:
    -log(7)/(log(7)/log(2 - 1/x) - log(7)/log(12 + 2*x^2)) = log(12 + x^2 - x)

    Данное ур-ние не имеет решений
    делаем обратную замену
    $$\log{\left (x^{2} - x + 12 \right )} = w$$
    подставляем w:
    Данное ур-ние не имеет решений,
    значит данное неравенство выполняется всегда или не выполняется никогда
    проверим
    подставляем произвольную точку, например
    x0 = 0

         log(7)              log(7)             log(7)  
    ---------------- - ------------------ >= -----------
       1                  1                     1/    1\
    log (2*0*0 + 12)   log (0*0 - 0 + 12)    log |2 - -|
                                                 \    0/

    0 >= 0

    зн. неравенство выполняется всегда
    Решение неравенства на графике