sin(x)*cos(3*x)*1/cos(2*x)<=0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: sin(x)*cos(3*x)*1/cos(2*x)<=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    sin(x)*cos(3*x)     
    --------------- <= 0
        cos(2*x)        
    $$\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )}}{\cos{\left (2 x \right )}} \leq 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )}}{\cos{\left (2 x \right )}} \leq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )}}{\cos{\left (2 x \right )}} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )}}{\cos{\left (2 x \right )}} = 0$$
    преобразуем
    $$\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )}}{\cos{\left (2 x \right )}} = 0$$
    $$\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )}}{\cos{\left (2 x \right )}} = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \cos{\left (2 x \right )}$$
    Дано уравнение:
    $$\frac{1}{w} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )} = 0$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатель w
    получим:
    $$\sin{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )} = 0$$
    Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
    cos3*xsinx = 0

    Данное ур-ние не имеет решений
    делаем обратную замену
    $$\cos{\left (2 x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\cos{\left (2 x \right )} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
    $$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
    Или
    $$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
    $$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} - \pi$$
    , где n - любое целое число
    Разделим обе части полученного ур-ния на
    $$2$$
    подставляем w:
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{4} = \pi$$
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{4} = \pi$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{4} = \pi$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (3 x \right )}}{\cos{\left (2 x \right )}} \leq 0$$
    $$\frac{\sin{\left (- \frac{1}{10} \right )} \cos{\left (\frac{-3}{10} 1 \right )}}{\cos{\left (\frac{-2}{10} 1 \right )}} \leq 0$$
    -cos(3/10)*sin(1/10)      
    --------------------- <= 0
           cos(1/5)           

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq 0$$
     _____           _____           _____          
          \         /     \         /
    -------•-------•-------•-------•-------
           x1      x2      x3      x4

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq 0$$
    $$x \geq \frac{\pi}{6} \wedge x \leq \frac{\pi}{2}$$
    $$x \geq \pi$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /pi           pi\     /pi           3*pi\                           /3*pi            \\
    Or|And|-- <= x, x < --|, And|-- <= x, x < ----|, And(x <= 0, -oo < x), And|---- < x, x < oo||
      \   \6            4 /     \2             4  /                           \ 4              //
    $$\left(\frac{\pi}{6} \leq x \wedge x < \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(\frac{\pi}{2} \leq x \wedge x < \frac{3 \pi}{4}\right) \vee \left(x \leq 0 \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{4} < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                pi  pi     pi  3*pi     3*pi     
    (-oo, 0] U [--, --) U [--, ----) U (----, oo)
                6   4      2    4        4       
    $$x \in \left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$