(2*x-4)*(6+3*x)*1/(7-4*x)>=0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (2*x-4)*(6+3*x)*1/(7-4*x)>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
    (2*x - 4)*(6 + 3*x)     
    ------------------- >= 0
          7 - 4*x           
    $$\frac{\left(2 x - 4\right) \left(3 x + 6\right)}{- 4 x + 7} \geq 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\left(2 x - 4\right) \left(3 x + 6\right)}{- 4 x + 7} \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\left(2 x - 4\right) \left(3 x + 6\right)}{- 4 x + 7} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{\left(2 x - 4\right) \left(3 x + 6\right)}{- 4 x + 7} = 0$$
    знаменатель
    $$- 4 x + 7$$
    тогда
    x не равен 7/4

    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$2 x - 4 = 0$$
    $$3 x + 6 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$2 x - 4 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$2 x = 4$$
    Разделим обе части ур-ния на 2
    x = 4 / (2)

    Получим ответ: x1 = 2
    2.
    $$3 x + 6 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$3 x = -6$$
    Разделим обе части ур-ния на 3
    x = -6 / (3)

    Получим ответ: x2 = -2
    но
    x не равен 7/4

    $$x_{1} = 2$$
    $$x_{2} = -2$$
    $$x_{1} = 2$$
    $$x_{2} = -2$$
    Данные корни
    $$x_{2} = -2$$
    $$x_{1} = 2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{21}{10}$$
    =
    $$- \frac{21}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\left(2 x - 4\right) \left(3 x + 6\right)}{- 4 x + 7} \geq 0$$
    /2*(-21)    \ /    3*(-21)\     
    |------- - 4|*|6 + -------|     
    \   10      / \       10  /     
    --------------------------- >= 0
                        1           
           /    4*(-21)\            
           |7 - -------|            
           \       10  /            

    123     
    --- >= 0
    770     

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq -2$$
     _____           _____          
          \         /
    -------•-------•-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq -2$$
    $$x \geq 2$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(x <= -2, -oo < x), And(x <= 2, 7/4 < x))
    $$\left(x \leq -2 \wedge -\infty < x\right) \vee \left(x \leq 2 \wedge \frac{7}{4} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, -2] U (7/4, 2]
    $$x \in \left(-\infty, -2\right] \cup \left(\frac{7}{4}, 2\right]$$