log(1/10)*1/log(2)*log(x)*1/log(2)>1 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: log(1/10)*1/log(2)*log(x)*1/log(2)>1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
    log(1/10)           
    ---------*log(x)    
      log(2)            
    ---------------- > 1
         log(2)         
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{10} \right )} \frac{1}{\log{\left (2 \right )}}}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (x \right )} > 1$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{10} \right )} \frac{1}{\log{\left (2 \right )}}}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (x \right )} > 1$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{10} \right )} \frac{1}{\log{\left (2 \right )}}}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (x \right )} = 1$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{10} \right )} \frac{1}{\log{\left (2 \right )}}}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (x \right )} = 1$$
    $$- \frac{\log{\left (10 \right )} \log{\left (x \right )}}{\log^{2}{\left (2 \right )}} = 1$$
    Разделим обе части ур-ния на множитель при log =-log(10)/log(2)^2
    $$\log{\left (x \right )} = - \frac{\log^{2}{\left (2 \right )}}{\log{\left (10 \right )}}$$
    Это уравнение вида:
    log(v)=p

    По определению log
    v=e^p

    тогда
    $$x = e^{\frac{1}{-1 \frac{1}{\log^{2}{\left (2 \right )}} \log{\left (10 \right )}}}$$
    упрощаем
    $$x = e^{- \frac{\log^{2}{\left (2 \right )}}{\log{\left (10 \right )}}}$$
    $$x_{1} = e^{- \frac{\log^{2}{\left (2 \right )}}{\log{\left (10 \right )}}}$$
    $$x_{1} = e^{- \frac{\log^{2}{\left (2 \right )}}{\log{\left (10 \right )}}}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = e^{- \frac{\log^{2}{\left (2 \right )}}{\log{\left (10 \right )}}}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
         2         
     -log (2)      
     ---------     
         1         
      log (10)   1 
    e          - --
                 10

    =
    $$- \frac{1}{10} + e^{- \frac{\log^{2}{\left (2 \right )}}{\log{\left (10 \right )}}}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{10} \right )} \frac{1}{\log{\left (2 \right )}}}{\log{\left (2 \right )}} \log{\left (x \right )} > 1$$
                 /     2         \    
                 | -log (2)      |    
                 | ---------     |    
                 |     1         |    
    log(1/10)    |  log (10)   1 |    
    ---------*log|e          - --|    
        1        \             10/    
     log (2)                          
    ------------------------------ > 1
                  1                   
               log (2)                

                /            2    \     
                |        -log (2) |     
                |        ---------|     
                |  1      log(10) |     
    -log(10)*log|- -- + e         |  > 1
                \  10             /     
    --------------------------------    
                   2                    
                log (2)                 

    значит решение неравенства будет при:
    $$x < e^{- \frac{\log^{2}{\left (2 \right )}}{\log{\left (10 \right )}}}$$
     _____          
          \    
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
       /                  2    \
       |              -log (2) |
       |              ---------|
       |               log(10) |
    And\-oo < x, x < e         /
    $$-\infty < x \wedge x < e^{- \frac{\log^{2}{\left (2 \right )}}{\log{\left (10 \right )}}}$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
               2     
           -log (2)  
           --------- 
            log(10)  
    (-oo, e         )
    $$x \in \left(-\infty, e^{- \frac{\log^{2}{\left (2 \right )}}{\log{\left (10 \right )}}}\right)$$