sin(3*x)-sqrt(2)*1/2<0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: sin(3*x)-sqrt(2)*1/2<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                 ___    
               \/ 2     
    sin(3*x) - ----- < 0
                 2      
    $$\sin{\left (3 x \right )} - \frac{\sqrt{2}}{2} < 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\sin{\left (3 x \right )} - \frac{\sqrt{2}}{2} < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sin{\left (3 x \right )} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (3 x \right )} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Перенесём -sqrt(2)/2 в правую часть ур-ния

    с изменением знака при -sqrt(2)/2

    Получим:
    $$\sin{\left (3 x \right )} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
    Это ур-ние преобразуется в
    $$3 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
    $$3 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
    Или
    $$3 x = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
    $$3 x = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
    , где n - любое целое число
    Разделим обе части полученного ур-ния на
    $$3$$
    $$x_{1} = \frac{2 \pi}{3} n + \frac{\pi}{12}$$
    $$x_{2} = \frac{2 \pi}{3} n + \frac{\pi}{4}$$
    $$x_{1} = \frac{2 \pi}{3} n + \frac{\pi}{12}$$
    $$x_{2} = \frac{2 \pi}{3} n + \frac{\pi}{4}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{2 \pi}{3} n + \frac{\pi}{12}$$
    $$x_{2} = \frac{2 \pi}{3} n + \frac{\pi}{4}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{2 \pi}{3} n + \frac{\pi}{12} + - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{2 \pi}{3} n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}$$
    подставляем в выражение
    $$\sin{\left (3 x \right )} - \frac{\sqrt{2}}{2} < 0$$
                                  ___    
       /  /pi   2*pi*n   1 \\   \/ 2     
    sin|3*|-- + ------ - --|| - ----- < 0
       \  \12     3      10//     2      

        ___                              
      \/ 2       /  3    pi         \    
    - ----- + sin|- -- + -- + 2*pi*n| < 0
        2        \  10   4          /    
        

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < \frac{2 \pi}{3} n + \frac{\pi}{12}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < \frac{2 \pi}{3} n + \frac{\pi}{12}$$
    $$x > \frac{2 \pi}{3} n + \frac{\pi}{4}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
          pi     pi     
    (-oo, --) U (--, oo)
          12     4      
    $$x \in \left(-\infty, \frac{\pi}{12}\right) \cup \left(\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$