(x+2)^2*1/(x-4)*(x+4)<=0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x+2)^2*1/(x-4)*(x+4)<=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
           2             
    (x + 2)              
    --------*(x + 4) <= 0
     x - 4               
    $$\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x - 4} \left(x + 4\right) \leq 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x - 4} \left(x + 4\right) \leq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x - 4} \left(x + 4\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x - 4} \left(x + 4\right) = 0$$
    знаменатель
    $$x - 4$$
    тогда
    x не равен 4

    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x + 4 = 0$$
    $$x + 2 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x + 4 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -4$$
    Получим ответ: x1 = -4
    3.
    $$x + 2 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -2$$
    Получим ответ: x2 = -2
    но
    x не равен 4

    $$x_{1} = -4$$
    $$x_{2} = -2$$
    $$x_{1} = -4$$
    $$x_{2} = -2$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -4$$
    $$x_{2} = -2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{41}{10}$$
    =
    $$- \frac{41}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\left(x + 2\right)^{2}}{x - 4} \left(x + 4\right) \leq 0$$
    $$\frac{\left(- \frac{41}{10} + 2\right)^{2}}{- \frac{41}{10} - 4} \left(- \frac{41}{10} + 4\right) \leq 0$$
     49     
    --- <= 0
    900     

    но
     49     
    --- >= 0
    900     

    Тогда
    $$x \leq -4$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq -4 \wedge x \leq -2$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    And(-4 <= x, x < 4)
    $$-4 \leq x \wedge x < 4$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    [-4, 4)
    $$x \in \left[-4, 4\right)$$