sin(3*x+pi*1/3)<sqrt(3)*1/2 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: sin(3*x+pi*1/3)<sqrt(3)*1/2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
                      ___
       /      pi\   \/ 3 
    sin|3*x + --| < -----
       \      3 /     2  
    $$\sin{\left (3 x + \frac{\pi}{3} \right )} < \frac{\sqrt{3}}{2}$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\sin{\left (3 x + \frac{\pi}{3} \right )} < \frac{\sqrt{3}}{2}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sin{\left (3 x + \frac{\pi}{3} \right )} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (3 x + \frac{\pi}{3} \right )} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$3 x + \frac{\pi}{3} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )}$$
    $$3 x + \frac{\pi}{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )} + \pi$$
    Или
    $$3 x + \frac{\pi}{3} = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
    $$3 x + \frac{\pi}{3} = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
    , где n - любое целое число
    Перенесём
    $$\frac{\pi}{3}$$
    в правую часть ур-ния
    с противоположным знаком, итого:
    $$3 x = 2 \pi n$$
    $$3 x = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
    Разделим обе части полученного ур-ния на
    $$3$$
    $$x_{1} = \frac{2 \pi}{3} n$$
    $$x_{2} = \frac{2 \pi}{3} n + \frac{\pi}{9}$$
    $$x_{1} = \frac{2 \pi}{3} n$$
    $$x_{2} = \frac{2 \pi}{3} n + \frac{\pi}{9}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{2 \pi}{3} n$$
    $$x_{2} = \frac{2 \pi}{3} n + \frac{\pi}{9}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{2 \pi}{3} n + - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{2 \pi}{3} n - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\sin{\left (3 x + \frac{\pi}{3} \right )} < \frac{\sqrt{3}}{2}$$
    $$\sin{\left (3 \left(\frac{2 \pi}{3} n + - \frac{1}{10}\right) + \frac{\pi}{3} \right )} < \frac{\sqrt{3}}{2}$$
                                ___
       /  3    pi         \   \/ 3 
    sin|- -- + -- + 2*pi*n| < -----
       \  10   3          /     2  
                              

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < \frac{2 \pi}{3} n$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < \frac{2 \pi}{3} n$$
    $$x > \frac{2 \pi}{3} n + \frac{\pi}{9}$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
      /                        /pi            \\
    Or|And(-oo < x, x < 0), And|-- < x, x < oo||
      \                        \9             //
    $$\left(-\infty < x \wedge x < 0\right) \vee \left(\frac{\pi}{9} < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
                pi     
    (-oo, 0) U (--, oo)
                9      
    $$x \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left(\frac{\pi}{9}, \infty\right)$$