sin((2*x-pi)*1/2)*cos((2*x-pi)*1/2)<0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: sin((2*x-pi)*1/2)*cos((2*x-pi)*1/2)<0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
       /2*x - pi\    /2*x - pi\    
    sin|--------|*cos|--------| < 0
       \   2    /    \   2    /    
    $$\sin{\left (\frac{1}{2} \left(2 x - \pi\right) \right )} \cos{\left (\frac{1}{2} \left(2 x - \pi\right) \right )} < 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\sin{\left (\frac{1}{2} \left(2 x - \pi\right) \right )} \cos{\left (\frac{1}{2} \left(2 x - \pi\right) \right )} < 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sin{\left (\frac{1}{2} \left(2 x - \pi\right) \right )} \cos{\left (\frac{1}{2} \left(2 x - \pi\right) \right )} = 0$$
    Решаем:
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{3} = \pi$$
    $$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{3} = \pi$$
    $$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{3} = \pi$$
    $$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\sin{\left (\frac{1}{2} \left(2 x - \pi\right) \right )} \cos{\left (\frac{1}{2} \left(2 x - \pi\right) \right )} < 0$$
       /2*(-1)     \    /2*(-1)     \    
       |------ - pi|    |------ - pi|    
       |  10       |    |  10       |    
    sin|-----------|*cos|-----------| < 0
       \     2     /    \     2     /    

    cos(1/10)*sin(1/10) < 0

    но
    cos(1/10)*sin(1/10) > 0

    Тогда
    $$x < 0$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > 0 \wedge x < \frac{\pi}{2}$$
             _____           _____  
            /     \         /     \  
    -------ο-------ο-------ο-------ο-------
           x1      x2      x3      x4

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x > 0 \wedge x < \frac{\pi}{2}$$
    $$x > \pi \wedge x < \frac{3 \pi}{2}$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
      /   /           pi\     /            3*pi\\
    Or|And|0 < x, x < --|, And|pi < x, x < ----||
      \   \           2 /     \             2  //
    $$\left(0 < x \wedge x < \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(\pi < x \wedge x < \frac{3 \pi}{2}\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
        pi         3*pi 
    (0, --) U (pi, ----)
        2           2   
    $$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\pi, \frac{3 \pi}{2}\right)$$