log(1/3)*1/(x^2-6*x+8)>-1 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: log(1/3)*1/(x^2-6*x+8)>-1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      log(1/3)       
    ------------ > -1
     2               
    x  - 6*x + 8     
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{x^{2} - 6 x + 8} > -1$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{x^{2} - 6 x + 8} > -1$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{x^{2} - 6 x + 8} = -1$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{x^{2} - 6 x + 8} = -1$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
    8 + x^2 - 6*x
    получим:
    $$\frac{\left(x^{2} - 6 x + 8\right) \log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{x^{2} - 6 x + 8} = - x^{2} + 6 x - 8$$
    $$- \log{\left (3 \right )} = - x^{2} + 6 x - 8$$
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$- \log{\left (3 \right )} = - x^{2} + 6 x - 8$$
    в
    $$x^{2} - 6 x - \log{\left (3 \right )} + 8 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -6$$
    $$c = - \log{\left (3 \right )} + 8$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-6)^2 - 4 * (1) * (8 - log(3)) = 4 + 4*log(3)

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{4 + 4 \log{\left (3 \right )}} + 3$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{4 + 4 \log{\left (3 \right )}} + 3$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{4 + 4 \log{\left (3 \right )}} + 3$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{4 + 4 \log{\left (3 \right )}} + 3$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{4 + 4 \log{\left (3 \right )}} + 3$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{4 + 4 \log{\left (3 \right )}} + 3$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} \sqrt{4 + 4 \log{\left (3 \right )}} + 3$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{4 + 4 \log{\left (3 \right )}} + 3$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
          ______________     
        \/ 4 + 4*log(3)    1 
    3 - ---------------- - --
               2           10

    =
    $$- \frac{1}{2} \sqrt{4 + 4 \log{\left (3 \right )}} + \frac{29}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\log{\left (\frac{1}{3} \right )}}{x^{2} - 6 x + 8} > -1$$
                                  log(1/3)                                  
    ------------------------------------------------------------------- > -1
                                                                      1     
    /                           2                                    \      
    |/      ______________     \      /      ______________     \    |      
    ||    \/ 4 + 4*log(3)    1 |      |    \/ 4 + 4*log(3)    1 |    |      
    ||3 - ---------------- - --|  - 6*|3 - ---------------- - --| + 8|      
    \\           2           10/      \           2           10/    /      

                          -log(3)                            
    ----------------------------------------------------     
                                  2                          
           /       ______________\                       > -1
      47   |29   \/ 4 + 4*log(3) |        ______________     
    - -- + |-- - ----------------|  + 3*\/ 4 + 4*log(3)      
      5    \10          2        /                           

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \frac{1}{2} \sqrt{4 + 4 \log{\left (3 \right )}} + 3$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \frac{1}{2} \sqrt{4 + 4 \log{\left (3 \right )}} + 3$$
    $$x > \frac{1}{2} \sqrt{4 + 4 \log{\left (3 \right )}} + 3$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
      /   /                   ____________\                        /              ____________    \\
    Or\And\-oo < x, x < 3 - \/ 1 + log(3) /, And(2 < x, x < 4), And\x < oo, 3 + \/ 1 + log(3)  < x//
    $$\left(-\infty < x \wedge x < - \sqrt{1 + \log{\left (3 \right )}} + 3\right) \vee \left(2 < x \wedge x < 4\right) \vee \left(x < \infty \wedge \sqrt{1 + \log{\left (3 \right )}} + 3 < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
                ____________                    ____________     
    (-oo, 3 - \/ 1 + log(3) ) U (2, 4) U (3 + \/ 1 + log(3) , oo)
    $$x \in \left(-\infty, - \sqrt{1 + \log{\left (3 \right )}} + 3\right) \cup \left(2, 4\right) \cup \left(\sqrt{1 + \log{\left (3 \right )}} + 3, \infty\right)$$