((x^3-8*x^2+15*x)*1/(x^2)-7*x+12)*1/(4-x)>0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: ((x^3-8*x^2+15*x)*1/(x^2)-7*x+12)*1/(4-x)>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     3      2                      
    x  - 8*x  + 15*x               
    ---------------- - 7*x + 12    
            2                      
           x                       
    --------------------------- > 0
               4 - x               
    $$\frac{1}{- x + 4} \left(- 7 x + \frac{1}{x^{2}} \left(15 x + x^{3} - 8 x^{2}\right) + 12\right) > 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{1}{- x + 4} \left(- 7 x + \frac{1}{x^{2}} \left(15 x + x^{3} - 8 x^{2}\right) + 12\right) > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{1}{- x + 4} \left(- 7 x + \frac{1}{x^{2}} \left(15 x + x^{3} - 8 x^{2}\right) + 12\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{1}{- x + 4} \left(- 7 x + \frac{1}{x^{2}} \left(15 x + x^{3} - 8 x^{2}\right) + 12\right) = 0$$
    преобразуем:
    Вынесем общий множитель за скобки
    $$\frac{6 x^{2} - 4 x - 15}{x \left(x - 4\right)} = 0$$
    знаменатель
    $$x$$
    тогда
    x не равен 0

    знаменатель
    $$x - 4$$
    тогда
    x не равен 4

    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$6 x^{2} - 4 x - 15 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    3.
    $$6 x^{2} - 4 x - 15 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 6$$
    $$b = -4$$
    $$c = -15$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-4)^2 - 4 * (6) * (-15) = 376

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{94}}{6}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{1}{3}$$
    но
    x не равен 0

    x не равен 4

    $$x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{94}}{6}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{1}{3}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{94}}{6}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{1}{3}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{1}{3}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{94}}{6}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
          ____     
    1   \/ 94    1 
    - - ------ - --
    3     6      10

    =
    $$- \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{7}{30}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{1}{- x + 4} \left(- 7 x + \frac{1}{x^{2}} \left(15 x + x^{3} - 8 x^{2}\right) + 12\right) > 0$$
                     3                      2                                                      
    /      ____     \      /      ____     \       /      ____     \                               
    |1   \/ 94    1 |      |1   \/ 94    1 |       |1   \/ 94    1 |                               
    |- - ------ - --|  - 8*|- - ------ - --|  + 15*|- - ------ - --|     /      ____     \         
    \3     6      10/      \3     6      10/       \3     6      10/     |1   \/ 94    1 |         
    ---------------------------------------------------------------- - 7*|- - ------ - --| + 12    
                                             1                           \3     6      10/         
                         /                 2\                                                      
                         |/      ____     \ |                                                      
                         ||1   \/ 94    1 | |                                                      
                         ||- - ------ - --| |                                                      
                         \\3     6      10/ /                                                      
    ------------------------------------------------------------------------------------------- > 0
                                                            1                                      
                                       /          ____     \                                       
                                       |    1   \/ 94    1 |                                       
                                       |4 - - - ------ - --|                                       
                                       \    3     6      10/                                       

                                      3                  2               
                         /       ____\      /       ____\        ____    
                     7   |7    \/ 94 |      |7    \/ 94 |    5*\/ 94     
              ____   - + |-- - ------|  - 8*|-- - ------|  - --------    
    311   7*\/ 94    2   \30     6   /      \30     6   /       2        
    --- + -------- + ------------------------------------------------    
     30      6                                     2                     
                                      /       ____\                      
                                      |7    \/ 94 |                   > 0
                                      |-- - ------|                      
                                      \30     6   /                      
    -----------------------------------------------------------------    
                                       ____                              
                               113   \/ 94                               
                               --- + ------                              
                                30     6                                 
        

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{1}{3}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x2      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{1}{3}$$
    $$x > \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{94}}{6}$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
      /   /                   ____\     /                 ____\                    \
      |   |             1   \/ 94 |     |           1   \/ 94 |                    |
    Or|And|-oo < x, x < - - ------|, And|0 < x, x < - + ------|, And(4 < x, x < oo)|
      \   \             3     6   /     \           3     6   /                    /
    $$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{1}{3}\right) \vee \left(0 < x \wedge x < \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{94}}{6}\right) \vee \left(4 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
                ____              ____           
          1   \/ 94         1   \/ 94            
    (-oo, - - ------) U (0, - + ------) U (4, oo)
          3     6           3     6              
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{94}}{6} + \frac{1}{3}\right) \cup \left(0, \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{94}}{6}\right) \cup \left(4, \infty\right)$$