(x^2+5*x-10)*1/(x^2-25)<=(x+6)*1/(x+5)+2*1/(x-3) (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x^2+5*x-10)*1/(x^2-25)<=(x+6)*1/(x+5)+2*1/(x-3) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     2                            
    x  + 5*x - 10    x + 6     2  
    ------------- <= ----- + -----
        2            x + 5   x - 3
       x  - 25                    
    $$\frac{x^{2} + 5 x - 10}{x^{2} - 25} \leq \frac{x + 6}{x + 5} + \frac{2}{x - 3}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{x^{2} + 5 x - 10}{x^{2} - 25} \leq \frac{x + 6}{x + 5} + \frac{2}{x - 3}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{x^{2} + 5 x - 10}{x^{2} - 25} = \frac{x + 6}{x + 5} + \frac{2}{x - 3}$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{x^{2} + 5 x - 10}{x^{2} - 25} = \frac{x + 6}{x + 5} + \frac{2}{x - 3}$$
    преобразуем:
    Вынесем общий множитель за скобки
    $$\frac{2 x - 2}{\left(x - 5\right) \left(x - 3\right)} = 0$$
    знаменатель
    $$x - 5$$
    тогда
    x не равен 5

    знаменатель
    $$x - 3$$
    тогда
    x не равен 3

    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$2 x - 2 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$2 x - 2 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$2 x = 2$$
    Разделим обе части ур-ния на 2
    x = 2 / (2)

    Получим ответ: x1 = 1
    но
    x не равен 5

    x не равен 3

    $$x_{1} = 1$$
    $$x_{1} = 1$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 1$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{9}{10}$$
    =
    $$\frac{9}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{x^{2} + 5 x - 10}{x^{2} - 25} \leq \frac{x + 6}{x + 5} + \frac{2}{x - 3}$$
    $$\frac{-10 + \left(\frac{9}{10}\right)^{2} + \frac{45}{10} 1}{-25 + \left(\frac{9}{10}\right)^{2}} \leq \frac{2}{-3 + \frac{9}{10}} + \frac{\frac{9}{10} + 6}{\frac{9}{10} + 5}$$
    469     269 
    ---- <= ----
    2419    1239

    значит решение неравенства будет при:
    $$x \leq 1$$
     _____          
          \    
    -------•-------
           x1
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(x <= 1, -5 < x), And(-oo < x, x < -5), And(3 < x, x < 5))
    $$\left(x \leq 1 \wedge -5 < x\right) \vee \left(-\infty < x \wedge x < -5\right) \vee \left(3 < x \wedge x < 5\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-oo, -5) U (-5, 1] U (3, 5)
    $$x \in \left(-\infty, -5\right) \cup \left(-5, 1\right] \cup \left(3, 5\right)$$