(x-3)*(x+1)^2*1/(x-1)<=0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: (x-3)*(x+1)^2*1/(x-1)<=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                   2     
    (x - 3)*(x + 1)      
    ---------------- <= 0
         x - 1           
    $$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)^{2}}{x - 1} \leq 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)^{2}}{x - 1} \leq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)^{2}}{x - 1} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)^{2}}{x - 1} = 0$$
    знаменатель
    $$x - 1$$
    тогда
    x не равен 1

    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x - 3 = 0$$
    $$x + 1 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x - 3 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = 3$$
    Получим ответ: x1 = 3
    3.
    $$x + 1 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -1$$
    Получим ответ: x2 = -1
    но
    x не равен 1

    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{1} = 3$$
    $$x_{2} = -1$$
    Данные корни
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{1} = 3$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)^{2}}{x - 1} \leq 0$$
    $$\frac{\left(-3 + - \frac{11}{10}\right) \left(- \frac{11}{10} + 1\right)^{2}}{- \frac{11}{10} - 1} \leq 0$$
     41      
    ---- <= 0
    2100     

    но
     41      
    ---- >= 0
    2100     

    Тогда
    $$x \leq -1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq -1 \wedge x \leq 3$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(x <= 3, 1 < x), x = -1)
    $$\left(x \leq 3 \wedge 1 < x\right) \vee x = -1$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    {-1} U (1, 3]
    $$x \in \left\{-1\right\} \cup \left(1, 3\right]$$