Есть два вида выражений-функций с корнями, для которых надо найти предел.
- Функции, содержащие корень (sqrt) в числителе или знаменателе дроби:
-
2*x - 15 lim ----------- x->oo ________ / 2 \/ x + 1 -
_______ _________ \/ x + 1 - \/ 2*x - 2 lim ----------------------- x->3+ x - 3
-
- Функции, имеющие разность двух корней:
-
__________ _________ / 2 / 2 lim \/ x + 2*x - \/ -3 + x x->oo
-
Оба этих случая легко решает калькулятор пределов.
Как ввести корень в форму?
К примеру, если вы хотите ввести разность двух корней, то укажите следующее выражение:
sqrt(x^2 + 2*x) - sqrt(-3 + x^2)
Для этого примера вы получите подробное решение:
Возьмём предел
::
__________ _________
/ 2 / 2
lim \/ x + 2*x - \/ -3 + x
x->oo
Устраним неопределённость oo - oo
Домножим и разделим на
::
_________ __________
/ 2 / 2
\/ -3 + x + \/ x + 2*x
тогда
::
__________ _________
/ 2 / 2
lim \/ x + 2*x - \/ -3 + x =
x->oo
::
/ __________ _________\ / _________ __________\
| / 2 / 2 | | / 2 / 2 |
\\/ x + 2*x - \/ -3 + x /*\\/ -3 + x + \/ x + 2*x /
lim ------------------------------------------------------------- =
x->oo _________ __________
/ 2 / 2
\/ -3 + x + \/ x + 2*x
::
2 2
__________ _________
/ 2 / 2
\/ x + 2*x - \/ -3 + x
lim ------------------------------ =
x->oo _________ __________
/ 2 / 2
\/ -3 + x + \/ x + 2*x
::
2 2
x + 2*x + 3 - x
lim ----------------------------
x->oo _________ __________ =
/ 2 / 2
\/ -3 + x + \/ x + 2*x
::
3 + 2*x
lim ----------------------------
x->oo _________ __________
/ 2 / 2
\/ -3 + x + \/ x + 2*x
Разделим числитель и знаменатель на x:
::
3
2 + -
x
lim ----------------------------
x->oo _________ __________ =
/ 2 / 2
\/ -3 + x \/ x + 2*x
------------ + -------------
x x
::
3
2 + -
x
lim ----------------------------------
x->oo _________ __________
/ 2 / 2 =
/ -3 + x / x + 2*x
/ ------- + / --------
/ 2 / 2
\/ x \/ x
::
3
2 + -
x
lim ---------------------------
x->oo ________ _______
/ 3 / 2
/ 1 - -- + / 1 + -
/ 2 \/ x
\/ x
Сделаем замену
::
1
u = -
x
тогда
::
3
2 + -
x
lim ---------------------------
x->oo ________ _______ =
/ 3 / 2
/ 1 - -- + / 1 + -
/ 2 \/ x
\/ x
::
2 + 3*u
lim ---------------------------
u->0+ __________ =
/ 2 _________
\/ 1 - 3*u + \/ 1 + 2*u
::
2 + 3*0
--------------------------- = 1
= __________
/ 2 _________
\/ 1 - 3*0 + \/ 1 + 2*0
Получаем окончательный ответ:
::
__________ _________
/ 2 / 2
lim \/ x + 2*x - \/ -3 + x = 1
x->oo
Для случая, когда корень находится в числителе или знаменателе дроби, то, к примеру, введите так:
(sqrt(x + 1) - sqrt(2*x - 2))/(x - 3)
Не забудьте указать к чему стремится переменная x.
Для указанного примера Вы также получите подробное решение, но с применением правила Лопиталя.
Ещё раз приводим ссылку на калькулятор:
>> решение пределов функций <<