Некоторые пределы можно вычислить, используя первый замечательный предел, для других же потребуется применить второй замечательный предел.
Здесь мы приведём примеры таких пределов, которые используют методы замечательных пределов
. Причём данные примеры будут вычислены онлайн.
Итак, нам даны два примера:
/7*x\
11 - 11*cos|---|
\ 9 /
lim ----------------
x->0+ 2
x
и
3*x
/3 + 2*x \
lim |--------|
x->oo\-2 + 2*x/
Первый предел решим с помощью первого замечательного предела, второй пример соответственно с помощью второго замечательного предела.
Для того, чтобы решить указанные примеры, откройте сервис по нахождению пределов онлайн:
и вбейте для первого примера:
(11 - 11*cos(7*x/9))/x^2
Не забудьте указать предел аргумента x, стремящегося к 0
Вы получите подробный ответ:
Возьмём предел
::
/7*x\
11 - 11*cos|---|
\ 9 /
lim ----------------
x->0+ 2
x
Используем тригонометрическую формулу
::
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2
преобразуем
::
/7*x\ /7*x\
11 - 11*cos|---| 11 - 11*cos|---|
\ 9 / \ 9 /
lim ---------------- = lim ---------------- =
x->0+ 2 x->0+ 2
x x
::
2
/ \
| /7*x\|
= | sin|---||
| \ 18/|
22*| lim --------|
\x->0+ x /
Сделаем замену
::
7*x
u = ---
18
тогда
::
/7*x\
sin|---|
\ 18/ 7*sin(u) =
lim -------- = lim --------
x->0+ x u->0+ 18*u
::
sin(u)
7* lim ------
u->0+ u
-------------
18
Предел
::
sin(u)
lim ------
u->0+ u
есть первый замечательный предел, он равен 1.
тогда
::
2
/ \ 2
| /7*x\| / sin(u)\
| sin|---|| |7* lim ------| =
| \ 18/| | u->0+ u |
22*| lim --------| = 22*|-------------|
\x->0+ x / \ 18 /
::
= 22*(7/18)^2 = 539/162
Тогда, окончательный ответ:
::
/7*x\
11 - 11*cos|---|
\ 9 / 539
lim ---------------- = ---
x->0+ 2 162
x
Для второго примера вы должны вбить в калькулятор пределов:
((3 + 2*x)/(-2 + 2*x))^(3*x)
Не забудьте указать, что аргумент x стремится к бесконечности (нужно вбить +oo)
Тогда для вбитой функции вы получите подробное решение:
Возьмём предел
::
3*x
/3 + 2*x \
lim |--------|
x->oo\-2 + 2*x/
преобразуем
::
3*x
/3 + 2*x \
lim |--------| =
x->oo\-2 + 2*x/
::
3*x
/-2 + 2*x + 5\
lim |------------| =
x->oo\ -2 + 2*x /
::
3*x
/-2 + 2*x 5 \
lim |-------- + --------| =
x->oo\-2 + 2*x -2 + 2*x/
::
3*x
/ 5 \
lim |1 + --------| =
x->oo\ -2 + 2*x/
сделаем замену
::
-2 + 2*x
u = --------
5
тогда
::
3*x
/ 5 \
lim |1 + --------| =
x->oo\ -2 + 2*x/
::
15*u
3 + ----
2
/ 1\ =
lim |1 + -|
u->oo\ u/
::
15*u
----
3 2
/ 1\ / 1\ =
lim |1 + -| *|1 + -|
u->oo\ u/ \ u/
::
15*u
----
3 2
/ 1\ / 1\ =
lim |1 + -| * lim |1 + -|
u->oo\ u/ u->oo\ u/
::
15*u
----
2
/ 1\ =
lim |1 + -|
u->oo\ u/
::
15/2
/ \
| u|
| / 1\ |
| lim |1 + -| |
\u->oo\ u/ /
Предел
::
u
/ 1\
lim |1 + -|
u->oo\ u/
есть второй замечательный предел, он равен e ~ 2.718281828459045
тогда
::
15/2
/ \
| u|
| / 1\ | 15/2
| lim |1 + -| | = e
\u->oo\ u/ /
Получаем окончательный ответ:
::
3*x
/3 + 2*x \ 15/2
lim |--------| = e
x->oo\-2 + 2*x/
Ещё раз приведу ссылку на сервис:
>> решение пределов <<