2cos^2x-2sin^2x=-1 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2cos^2x-2sin^2x=-1

Вы ввели

     2           2        
2*cos (x) - 2*sin (x) = -1

$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = -1$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} = -1$$
преобразуем
$$3 - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -4$$
$$b = 0$$
$$c = 3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (-4) * (3) = 48

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$

Быстрый ответ

     -2*pi
x1 = -----
       3  

$$x_{1} = - \frac{2 \pi}{3}$$

     -pi 
x2 = ----
      3  

$$x_{2} = - \frac{\pi}{3}$$

     pi
x3 = --
     3 

$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$

     2*pi
x4 = ----
      3  

$$x_{4} = \frac{2 \pi}{3}$$

Сумма и произведение корней

сумма

    2*pi   pi   pi   2*pi
0 - ---- - -- + -- + ----
     3     3    3     3  

$$\left(\left(\left(- \frac{2 \pi}{3} + 0\right) - \frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{3}\right) + \frac{2 \pi}{3}$$

=

0

$$0$$

произведение

  -2*pi -pi  pi 2*pi
1*-----*----*--*----
    3    3   3   3  

$$\frac{2 \pi}{3} \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} \cdot 1 \left(- \frac{2 \pi}{3}\right)$$

=

    4
4*pi 
-----
  81 

$$\frac{4 \pi^{4}}{81}$$

Численный ответ

x1 = -378.038315981972

x2 = 74.3510261349584

x3 = 82.7286065445312

x4 = -55.5014702134197

x5 = 38.7463093942741

x6 = 83.7758040957278

x7 = 33.5103216382911

x8 = -99.4837673636768

x9 = -96.342174710087

x10 = 26.1799387799149

x11 = -33.5103216382911

x12 = -5.23598775598299

x13 = -85.870199198121

x14 = -76.4454212373516

x15 = -32.4631240870945

x16 = 48.1710873550435

x17 = -90.0589894029074

x18 = 39.7935069454707

x19 = 68.0678408277789

x20 = -30.3687289847013

x21 = 99.4837673636768

x22 = -71.2094334813686

x23 = -294.262511886244

x24 = 10.471975511966

x25 = 2.0943951023932

x26 = 77.4926187885482

x27 = -79.5870138909414

x28 = -26.1799387799149

x29 = 54.4542726622231

x30 = -48.1710873550435

x31 = -49.2182849062401

x32 = 55.5014702134197

x33 = 98.4365698124802

x34 = -92.1533845053006

x35 = -4.18879020478639

x36 = -98.4365698124802

x37 = -39.7935069454707

x38 = -27.2271363311115

x39 = -10.471975511966

x40 = -63.8790506229925

x41 = -24.0855436775217

x42 = 16.7551608191456

x43 = 90.0589894029074

x44 = 1515.29485658148

x45 = -35.6047167406843

x46 = 96.342174710087

x47 = 63.8790506229925

x48 = 8.37758040957278

x49 = 24.0855436775217

x50 = -13.6135681655558

x51 = 19.8967534727354

x52 = -322.536845768552

x53 = 61.7846555205993

x54 = 85.870199198121

x55 = -61.7846555205993

x56 = 17.8023583703422

x57 = -19.8967534727354

x58 = -41.8879020478639

x59 = 60.7374579694027

x60 = 41.8879020478639

x61 = -54.4542726622231

x62 = -46.0766922526503

x63 = 52.3598775598299

x64 = -77.4926187885482

x65 = 70.162235930172

x66 = -2.0943951023932

x67 = 4.18879020478639

x68 = 76.4454212373516

x69 = -70.162235930172

x70 = -57.5958653158129

x71 = -11.5191730631626

x72 = 32.4631240870945

x73 = -17.8023583703422

x74 = 20.943951023932

x75 = -68.0678408277789

x76 = -14.6607657167524

x77 = 30.3687289847013

x78 = 11.5191730631626

x79 = -93.2005820564972

x80 = 92.1533845053006

x81 = 46.0766922526503

x82 = -83.7758040957278

x83 = 79.5870138909414

x84 = -60.7374579694027

График