√(2x+1)-√(16-x) =3 (уравнение)

Найду корень уравнения: √(2x+1)-√(16-x) =3

Вы ввели

  _________     ________    
\/ 2*x + 1  - \/ 16 - x  = 3

$$- \sqrt{16 - x} + \sqrt{2 x + 1} = 3$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$- \sqrt{16 - x} + \sqrt{2 x + 1} = 3$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$\left(- \sqrt{16 - x} + \sqrt{2 x + 1}\right)^{2} = 9$$
или
$$\left(-1\right)^{2} \left(16 - x\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(16 - x\right) \left(2 x + 1\right)} + 1^{2} \left(2 x + 1\right)\right) = 9$$
или
$$x - 2 \sqrt{- 2 x^{2} + 31 x + 16} + 17 = 9$$
преобразуем:
$$- 2 \sqrt{- 2 x^{2} + 31 x + 16} = - x - 8$$
Возведём обе части ур-ния в(о) 2-ую степень
$$- 8 x^{2} + 124 x + 64 = \left(- x - 8\right)^{2}$$
$$- 8 x^{2} + 124 x + 64 = x^{2} + 16 x + 64$$
Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус
$$- 9 x^{2} + 108 x = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = -9$$
$$b = 108$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(108)^2 - 4 * (-9) * (0) = 11664

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 12$$

Т.к.
$$\sqrt{- 2 x^{2} + 31 x + 16} = \frac{x}{2} + 4$$
и
$$\sqrt{- 2 x^{2} + 31 x + 16} \geq 0$$
то
$$\frac{x}{2} + 4 \geq 0$$
или
$$-8 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 12$$
проверяем:
$$x_{1} = 0$$
$$- \sqrt{16 - x_{1}} + \sqrt{2 x_{1} + 1} - 3 = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{16 - 0} + \sqrt{0 \cdot 2 + 1}\right) - 3 = 0$$
=

-6 = 0

- Нет
$$x_{2} = 12$$
$$- \sqrt{16 - x_{2}} + \sqrt{2 x_{2} + 1} - 3 = 0$$
=
$$-3 + \left(- \sqrt{16 - 12} + \sqrt{1 + 2 \cdot 12}\right) = 0$$
=

0 = 0

- тождество
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{2} = 12$$

Быстрый ответ

x1 = 12

$$x_{1} = 12$$

Численный ответ

x1 = 12.0

График