2x^9-5=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2x^9-5=0

Вы ввели

   9        
2*x  - 5 = 0

$$2 x^{9} - 5 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$2 x^{9} - 5 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 9 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 9-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[9]{2} \sqrt[9]{\left(1 x + 0\right)^{9}} = \sqrt[9]{5}$$
или
$$\sqrt[9]{2} x = \sqrt[9]{5}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*2^1/9 = 5^(1/9)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*2^1/9 = 5^1/9

Разделим обе части ур-ния на 2^(1/9)

x = 5^(1/9) / (2^(1/9))

Получим ответ: x = 2^(8/9)*5^(1/9)/2

Остальные 8 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{9} = \frac{5}{2}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{9} e^{9 i p} = \frac{5}{2}$$
где
$$r = \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5}}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{9 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(9 p \right)} + \cos{\left(9 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(9 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(9 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{9}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5}}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \sqrt{3} \cdot \sqrt[9]{5} i}{4}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \sqrt{3} \cdot \sqrt[9]{5} i}{4}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$
$$z_{6} = \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}$$
$$z_{7} = \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}$$
$$z_{8} = \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2}$$
$$z_{9} = \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \sqrt{3} \cdot \sqrt[9]{5} i}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \sqrt{3} \cdot \sqrt[9]{5} i}{4}$$
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$
$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$
$$x_{6} = \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}$$
$$x_{7} = \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}$$
$$x_{8} = \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2}$$
$$x_{9} = \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2}$$

Быстрый ответ

      8/9 9 ___
     2   *\/ 5 
x1 = ----------
         2     

$$x_{1} = \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5}}{2}$$

        8/9 9 ___      8/9   ___ 9 ___
       2   *\/ 5    I*2   *\/ 3 *\/ 5 
x2 = - ---------- - ------------------
           4                4         

$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \sqrt{3} \cdot \sqrt[9]{5} i}{4}$$

        8/9 9 ___      8/9   ___ 9 ___
       2   *\/ 5    I*2   *\/ 3 *\/ 5 
x3 = - ---------- + ------------------
           4                4         

$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \sqrt{3} \cdot \sqrt[9]{5} i}{4}$$

        8/9 9 ___    /pi\      8/9 9 ___    /pi\
       2   *\/ 5 *cos|--|   I*2   *\/ 5 *sin|--|
                     \9 /                   \9 /
x4 = - ------------------ - --------------------
               2                     2          

$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$

        8/9 9 ___    /pi\      8/9 9 ___    /pi\
       2   *\/ 5 *cos|--|   I*2   *\/ 5 *sin|--|
                     \9 /                   \9 /
x5 = - ------------------ + --------------------
               2                     2          

$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}$$

      8/9 9 ___    /2*pi\      8/9 9 ___    /2*pi\
     2   *\/ 5 *cos|----|   I*2   *\/ 5 *sin|----|
                   \ 9  /                   \ 9  /
x6 = -------------------- - ----------------------
              2                       2           

$$x_{6} = \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}$$

      8/9 9 ___    /2*pi\      8/9 9 ___    /2*pi\
     2   *\/ 5 *cos|----|   I*2   *\/ 5 *sin|----|
                   \ 9  /                   \ 9  /
x7 = -------------------- + ----------------------
              2                       2           

$$x_{7} = \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}$$

      8/9 9 ___    /4*pi\      8/9 9 ___    /4*pi\
     2   *\/ 5 *cos|----|   I*2   *\/ 5 *sin|----|
                   \ 9  /                   \ 9  /
x8 = -------------------- - ----------------------
              2                       2           

$$x_{8} = \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2}$$

      8/9 9 ___    /4*pi\      8/9 9 ___    /4*pi\
     2   *\/ 5 *cos|----|   I*2   *\/ 5 *sin|----|
                   \ 9  /                   \ 9  /
x9 = -------------------- + ----------------------
              2                       2           

$$x_{9} = \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2}$$

Сумма и произведение корней

сумма

                                                                                            8/9 9 ___    /pi\      8/9 9 ___    /pi\      8/9 9 ___    /pi\      8/9 9 ___    /pi\    8/9 9 ___    /2*pi\      8/9 9 ___    /2*pi\    8/9 9 ___    /2*pi\      8/9 9 ___    /2*pi\    8/9 9 ___    /4*pi\      8/9 9 ___    /4*pi\    8/9 9 ___    /4*pi\      8/9 9 ___    /4*pi\
     8/9 9 ___      8/9 9 ___      8/9   ___ 9 ___      8/9 9 ___      8/9   ___ 9 ___     2   *\/ 5 *cos|--|   I*2   *\/ 5 *sin|--|     2   *\/ 5 *cos|--|   I*2   *\/ 5 *sin|--|   2   *\/ 5 *cos|----|   I*2   *\/ 5 *sin|----|   2   *\/ 5 *cos|----|   I*2   *\/ 5 *sin|----|   2   *\/ 5 *cos|----|   I*2   *\/ 5 *sin|----|   2   *\/ 5 *cos|----|   I*2   *\/ 5 *sin|----|
    2   *\/ 5      2   *\/ 5    I*2   *\/ 3 *\/ 5      2   *\/ 5    I*2   *\/ 3 *\/ 5                    \9 /                   \9 /                   \9 /                   \9 /                 \ 9  /                   \ 9  /                 \ 9  /                   \ 9  /                 \ 9  /                   \ 9  /                 \ 9  /                   \ 9  /
0 + ---------- + - ---------- - ------------------ + - ---------- + ------------------ + - ------------------ - -------------------- + - ------------------ + -------------------- + -------------------- - ---------------------- + -------------------- + ---------------------- + -------------------- - ---------------------- + -------------------- + ----------------------
        2              4                4                  4                4                      2                     2                       2                     2                      2                       2                       2                       2                       2                       2                       2                       2           

$$\left(\left(\frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2}\right) + \left(\left(\left(\frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}\right) + \left(\left(\left(- \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}\right) + \left(\left(\left(0 + \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5}}{2}\right) - \left(\frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \sqrt{3} \cdot \sqrt[9]{5} i}{4}\right)\right) - \left(\frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \sqrt{3} \cdot \sqrt[9]{5} i}{4}\right)\right)\right) - \left(\frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}\right)\right)\right) + \left(\frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2}\right)$$

=

 8/9 9 ___    /2*pi\    8/9 9 ___    /4*pi\    8/9 9 ___    /pi\
2   *\/ 5 *cos|----| + 2   *\/ 5 *cos|----| - 2   *\/ 5 *cos|--|
              \ 9  /                 \ 9  /                 \9 /

$$- 2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)} + 2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}$$

произведение

                                                                                     /   8/9 9 ___    /pi\      8/9 9 ___    /pi\\ /   8/9 9 ___    /pi\      8/9 9 ___    /pi\\ / 8/9 9 ___    /2*pi\      8/9 9 ___    /2*pi\\ / 8/9 9 ___    /2*pi\      8/9 9 ___    /2*pi\\ / 8/9 9 ___    /4*pi\      8/9 9 ___    /4*pi\\ / 8/9 9 ___    /4*pi\      8/9 9 ___    /4*pi\\
   8/9 9 ___ /   8/9 9 ___      8/9   ___ 9 ___\ /   8/9 9 ___      8/9   ___ 9 ___\ |  2   *\/ 5 *cos|--|   I*2   *\/ 5 *sin|--|| |  2   *\/ 5 *cos|--|   I*2   *\/ 5 *sin|--|| |2   *\/ 5 *cos|----|   I*2   *\/ 5 *sin|----|| |2   *\/ 5 *cos|----|   I*2   *\/ 5 *sin|----|| |2   *\/ 5 *cos|----|   I*2   *\/ 5 *sin|----|| |2   *\/ 5 *cos|----|   I*2   *\/ 5 *sin|----||
  2   *\/ 5  |  2   *\/ 5    I*2   *\/ 3 *\/ 5 | |  2   *\/ 5    I*2   *\/ 3 *\/ 5 | |                \9 /                   \9 /| |                \9 /                   \9 /| |              \ 9  /                   \ 9  /| |              \ 9  /                   \ 9  /| |              \ 9  /                   \ 9  /| |              \ 9  /                   \ 9  /|
1*----------*|- ---------- - ------------------|*|- ---------- + ------------------|*|- ------------------ - --------------------|*|- ------------------ + --------------------|*|-------------------- - ----------------------|*|-------------------- + ----------------------|*|-------------------- - ----------------------|*|-------------------- + ----------------------|
      2      \      4                4         / \      4                4         / \          2                     2          / \          2                     2          / \         2                       2           / \         2                       2           / \         2                       2           / \         2                       2           /

$$1 \cdot \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5}}{2} \left(- \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \sqrt{3} \cdot \sqrt[9]{5} i}{4}\right) \left(- \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \sqrt{3} \cdot \sqrt[9]{5} i}{4}\right) \left(- \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}\right) \left(- \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{\pi}{9} \right)}}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2} - \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2}\right) \left(\frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} \cos{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2} + \frac{2^{\frac{8}{9}} \cdot \sqrt[9]{5} i \sin{\left(\frac{4 \pi}{9} \right)}}{2}\right)$$

=

  15         4/pi\         6/pi\         6/pi\         2/pi\
- -- - 30*sin |--| + 10*cos |--| + 10*sin |--| + 30*sin |--|
  2           \9 /          \9 /          \9 /          \9 /

$$- \frac{15}{2} - 30 \sin^{4}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 10 \sin^{6}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 30 \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{9} \right)} + 10 \cos^{6}{\left(\frac{\pi}{9} \right)}$$

Численный ответ

x1 = -0.553586589444956 - 0.958840099307436*i

x2 = 0.848143861258991 + 0.711677201167693*i

x3 = 0.192258604875935 - 1.09035273049796*i

x4 = -0.553586589444956 + 0.958840099307436*i

x5 = -1.04040246613493 + 0.378675529330264*i

x6 = -1.04040246613493 - 0.378675529330264*i

x7 = 0.848143861258991 - 0.711677201167693*i

x8 = 0.192258604875935 + 1.09035273049796*i

x9 = 1.10717317888991

График