2x^5 + 3 = 0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 2x^5 + 3 = 0

Вы ввели

   5        
2*x  + 3 = 0

$$2 x^{5} + 3 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$2 x^{5} + 3 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$\sqrt[5]{2} \sqrt[5]{x^{5}} = \sqrt[5]{-3}$$
или
$$\sqrt[5]{2} x = \sqrt[5]{-3}$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

x*2^1/5 = (-3)^(1/5)

Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x*2^1/5 = -3^1/5

Разделим обе части ур-ния на 2^(1/5)

x = (-3)^(1/5) / (2^(1/5))

Получим ответ: x = (-3)^(1/5)*2^(4/5)/2

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = - \frac{3}{2}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = - \frac{3}{2}$$
где
$$r = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5} + \frac{\pi}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}$$
$$z_{2} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}$$
$$z_{4} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8}$$
$$z_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}$$
$$x_{4} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8}$$
$$x_{5} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5} i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}$$

Быстрый ответ

       4/5 5 ___ 
     -2   *\/ 3  
x1 = ------------
          2      

$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{2}$$

       /                  ___________                         ___________\                                
       |                 /       ___                         /       ___ |                                
       |   4/5 5 ___    /  5   \/ 5      4/5 5 ___   ___    /  5   \/ 5  |                                
       |  2   *\/ 3 *  /   - - -----    2   *\/ 3 *\/ 5 *  /   - - ----- |    4/5 5 ___    4/5 5 ___   ___
       |             \/    8     8                       \/    8     8   |   2   *\/ 3    2   *\/ 3 *\/ 5 
x2 = I*|- --------------------------- - ---------------------------------| + ---------- - ----------------
       \               4                                4                /       8               8        

$$x_{2} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + i \left(- \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{4}\right)$$

       /                  ___________                   ___________                         ___________                         ___________\                                ___________      ___________
       |                 /       ___                   /       ___                         /       ___                         /       ___ |                               /       ___      /       ___ 
       |   4/5 5 ___    /  5   \/ 5      4/5 5 ___    /  5   \/ 5      4/5 5 ___   ___    /  5   \/ 5      4/5 5 ___   ___    /  5   \/ 5  |                 4/5 5 ___    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
       |  2   *\/ 3 *  /   - - -----    2   *\/ 3 *  /   - + -----    2   *\/ 3 *\/ 5 *  /   - + -----    2   *\/ 3 *\/ 5 *  /   - - ----- |    4/5 5 ___   2   *\/ 3 *  /   - - ----- *  /   - + ----- 
       |             \/    8     8                 \/    8     8                       \/    8     8                       \/    8     8   |   2   *\/ 3               \/    8     8    \/    8     8   
x3 = I*|- --------------------------- - --------------------------- - --------------------------------- + ---------------------------------| + ---------- + --------------------------------------------
       \               8                             8                                8                                   8                /       8                             2                      

$$x_{3} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + i \left(- \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8}\right)$$

       /                  ___________                   ___________                         ___________                         ___________\                                ___________      ___________
       |                 /       ___                   /       ___                         /       ___                         /       ___ |                               /       ___      /       ___ 
       |   4/5 5 ___    /  5   \/ 5      4/5 5 ___    /  5   \/ 5      4/5 5 ___   ___    /  5   \/ 5      4/5 5 ___   ___    /  5   \/ 5  |                 4/5 5 ___    /  5   \/ 5      /  5   \/ 5  
       |  2   *\/ 3 *  /   - - -----    2   *\/ 3 *  /   - + -----    2   *\/ 3 *\/ 5 *  /   - - -----    2   *\/ 3 *\/ 5 *  /   - + ----- |    4/5 5 ___   2   *\/ 3 *  /   - - ----- *  /   - + ----- 
       |             \/    8     8                 \/    8     8                       \/    8     8                       \/    8     8   |   2   *\/ 3               \/    8     8    \/    8     8   
x4 = I*|- --------------------------- + --------------------------- + --------------------------------- + ---------------------------------| + ---------- - --------------------------------------------
       \               8                             8                                8                                   8                /       8                             2                      

$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{2} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + i \left(- \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5} \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5} \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}}{8}\right)$$

                                                       ___________
                                                      /       ___ 
                                        4/5 5 ___    /  5   \/ 5  
      4/5 5 ___    4/5 5 ___   ___   I*2   *\/ 3 *  /   - - ----- 
     2   *\/ 3    2   *\/ 3 *\/ 5                 \/    8     8   
x5 = ---------- + ---------------- + -----------------------------
         8               8                         2              

$$x_{5} = \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} \sqrt{5}}{8} + \frac{2^{\frac{4}{5}} \sqrt[5]{3} i \sqrt{\frac{5}{8} - \frac{\sqrt{5}}{8}}}{2}$$

Численный ответ

x1 = 0.877356092818838 + 0.637436513637504*i

x2 = -0.335120207219988 + 1.03139394473572*i

x3 = -1.0844717711977

x4 = -0.335120207219988 - 1.03139394473572*i

x5 = 0.877356092818838 - 0.637436513637504*i

График