4z^2+2z+1=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4z^2+2z+1=0

Вы ввели

   2              
4*z  + 2*z + 1 = 0

$$4 z^{2} + 2 z + 1 = 0$$

Подробное решение

Это уравнение вида

a*z^2 + b*z + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$z_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$z_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = 2$$
$$c = 1$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (4) * (1) = -12

Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.

z1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

z2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$z_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
Упростить
$$z_{2} = - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
Упростить

Быстрый ответ

               ___
       1   I*\/ 3 
z1 = - - - -------
       4      4   

$$z_{1} = - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$

               ___
       1   I*\/ 3 
z2 = - - + -------
       4      4   

$$z_{2} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$

Сумма и произведение корней

сумма

              ___             ___
      1   I*\/ 3      1   I*\/ 3 
0 + - - - ------- + - - + -------
      4      4        4      4   

$$\left(0 - \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}\right)\right) - \left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}\right)$$

=

-1/2

$$- \frac{1}{2}$$

произведение

  /          ___\ /          ___\
  |  1   I*\/ 3 | |  1   I*\/ 3 |
1*|- - - -------|*|- - + -------|
  \  4      4   / \  4      4   /

$$1 \left(- \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}\right) \left(- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}\right)$$

=

1/4

$$\frac{1}{4}$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$4 z^{2} + 2 z + 1 = 0$$
из
$$a z^{2} + b z + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$z^{2} + \frac{b z}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$z^{2} + \frac{z}{2} + \frac{1}{4} = 0$$
$$p z + q + z^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = \frac{1}{2}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = \frac{1}{4}$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} = - p$$
$$z_{1} z_{2} = q$$
$$z_{1} + z_{2} = - \frac{1}{2}$$
$$z_{1} z_{2} = \frac{1}{4}$$

Численный ответ

z1 = -0.25 + 0.433012701892219*i

z2 = -0.25 - 0.433012701892219*i

График