5x^4+2=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: 5x^4+2=0

Вы ввели

   4        
5*x  + 2 = 0

$$5 x^{4} + 2 = 0$$

Подробное решение

Дано уравнение
$$5 x^{4} + 2 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -2 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = - \frac{2}{5}$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = - \frac{2}{5}$$
где
$$r = \frac{\sqrt[4]{2} \cdot 5^{\frac{3}{4}}}{5}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} - \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}$$
$$z_{2} = - \frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} + \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}$$
$$z_{3} = \frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} - \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}$$
$$z_{4} = \frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} + \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} - \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} + \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}$$
$$x_{3} = \frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} - \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}$$
$$x_{4} = \frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} + \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}$$

Быстрый ответ

         3/4       3/4
       10      I*10   
x1 = - ----- - -------
         10       10  

$$x_{1} = - \frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} - \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}$$

         3/4       3/4
       10      I*10   
x2 = - ----- + -------
         10       10  

$$x_{2} = - \frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} + \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}$$

       3/4       3/4
     10      I*10   
x3 = ----- - -------
       10       10  

$$x_{3} = \frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} - \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}$$

       3/4       3/4
     10      I*10   
x4 = ----- + -------
       10       10  

$$x_{4} = \frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} + \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}$$

Сумма и произведение корней

сумма

        3/4       3/4       3/4       3/4     3/4       3/4     3/4       3/4
      10      I*10        10      I*10      10      I*10      10      I*10   
0 + - ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
        10       10         10       10       10       10       10       10  

$$\left(\left(\frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} - \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}\right) - \frac{10^{\frac{3}{4}}}{5}\right) + \left(\frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} + \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}\right)$$

=

0

$$0$$

произведение

  /    3/4       3/4\ /    3/4       3/4\ /  3/4       3/4\ /  3/4       3/4\
  |  10      I*10   | |  10      I*10   | |10      I*10   | |10      I*10   |
1*|- ----- - -------|*|- ----- + -------|*|----- - -------|*|----- + -------|
  \    10       10  / \    10       10  / \  10       10  / \  10       10  /

$$1 \left(- \frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} - \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}\right) \left(- \frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} + \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}\right) \left(\frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} - \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}\right) \left(\frac{10^{\frac{3}{4}}}{10} + \frac{10^{\frac{3}{4}} i}{10}\right)$$

=

2/5

$$\frac{2}{5}$$

Численный ответ

x1 = -0.562341325190349 + 0.562341325190349*i

x2 = 0.562341325190349 - 0.562341325190349*i

x3 = -0.562341325190349 - 0.562341325190349*i

x4 = 0.562341325190349 + 0.562341325190349*i

График