ax^2+(2a^2+1)x+2a=0 (уравнение)

Найду корень уравнения: ax^2+(2a^2+1)x+2a=0

Вы ввели

   2   /   2    \            
a*x  + \2*a  + 1/*x + 2*a = 0

$$a x^{2} + 2 a + x \left(2 a^{2} + 1\right) = 0$$

Подробное решение

Раскроем выражение в уравнении
$$\left(a x^{2} + 2 a + x \left(2 a^{2} + 1\right)\right) + 0 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$2 a^{2} x + a x^{2} + 2 a + x = 0$$
Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = a$$
$$b = 2 a^{2} + 1$$
$$c = 2 a$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1 + 2*a^2)^2 - 4 * (a) * (2*a) = (1 + 2*a^2)^2 - 8*a^2

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = \frac{- 2 a^{2} + \sqrt{- 8 a^{2} + \left(2 a^{2} + 1\right)^{2}} - 1}{2 a}$$
Упростить
$$x_{2} = \frac{- 2 a^{2} - \sqrt{- 8 a^{2} + \left(2 a^{2} + 1\right)^{2}} - 1}{2 a}$$
Упростить

Быстрый ответ

     -1 
x1 = ---
      a 

$$x_{1} = - \frac{1}{a}$$

x2 = -2*a

$$x_{2} = - 2 a$$

Сумма и произведение корней

сумма

    1      
0 - - - 2*a
    a      

$$- 2 a + \left(0 - \frac{1}{a}\right)$$

=

  1      
- - - 2*a
  a      

$$- 2 a - \frac{1}{a}$$

произведение

  -1      
1*---*-2*a
   a      

$$- 2 a 1 \left(- \frac{1}{a}\right)$$

=

2

$$2$$

Решение параметрического уравнения

Дано уравнение с параметром:
$$a x^{2} + 2 a + x \left(2 a^{2} + 1\right) = 0$$
Коэффициент при x равен
$$a$$
тогда возможные случаи для a :
$$a < 0$$
$$a = 0$$
Рассмотри все случаи подробнее:
При
$$a < 0$$
уравнение будет
$$- x^{2} + 3 x - 2 = 0$$
его решение
$$x = 1$$
$$x = 2$$
При
$$a = 0$$
уравнение будет
$$x = 0$$
его решение
$$x = 0$$

Теорема Виета

перепишем уравнение
$$a x^{2} + 2 a + x \left(2 a^{2} + 1\right) = 0$$
из
$$a x^{2} + b x + c = 0$$
как приведённое квадратное уравнение
$$x^{2} + \frac{b x}{a} + \frac{c}{a} = 0$$
$$\frac{a x^{2} + 2 a + x \left(2 a^{2} + 1\right)}{a} = 0$$
$$p x + q + x^{2} = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = \frac{2 a^{2} + 1}{a}$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 2$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} = - p$$
$$x_{1} x_{2} = q$$
$$x_{1} + x_{2} = - \frac{2 a^{2} + 1}{a}$$
$$x_{1} x_{2} = 2$$