4^(2*x)=8 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4^(2*x)=8

Вы ввели

 2*x    
4    = 8

$$4^{2 x} = 8$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$4^{2 x} = 8$$
или
$$4^{2 x} - 8 = 0$$
или
$$16^{x} = 8$$
или
$$16^{x} = 8$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 16^{x}$$
получим
$$v - 8 = 0$$
или
$$v - 8 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 8$$
Получим ответ: v = 8
делаем обратную замену
$$16^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(16 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(8 \right)}}{\log{\left(16 \right)}} = \frac{3}{4}$$

Быстрый ответ

x1 = 3/4

$$x_{1} = \frac{3}{4}$$

      log(8)      pi*I  
x2 = -------- + --------
     4*log(2)   2*log(2)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(8 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}$$

     3     pi*I  
x3 = - - --------
     4   2*log(2)

$$x_{3} = \frac{3}{4} - \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}$$

     3    pi*I 
x4 = - + ------
     4   log(2)

$$x_{4} = \frac{3}{4} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

3    log(8)      pi*I     3     pi*I     3    pi*I 
- + -------- + -------- + - - -------- + - + ------
4   4*log(2)   2*log(2)   4   2*log(2)   4   log(2)

$$\left(\left(\frac{3}{4} - \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}\right) + \left(\frac{3}{4} + \left(\frac{\log{\left(8 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)\right)\right) + \left(\frac{3}{4} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

9    log(8)     pi*I 
- + -------- + ------
4   4*log(2)   log(2)

$$\frac{\log{\left(8 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}} + \frac{9}{4} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

  / log(8)      pi*I  \                            
3*|-------- + --------|                            
  \4*log(2)   2*log(2)/ /3     pi*I  \ /3    pi*I \
-----------------------*|- - --------|*|- + ------|
           4            \4   2*log(2)/ \4   log(2)/

$$\left(\frac{3}{4} - \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}\right) \frac{3 \left(\frac{\log{\left(8 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)}{4} \left(\frac{3}{4} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

3*(-2*pi*I + log(8))*(2*pi*I + log(8))*(4*pi*I + log(8))
--------------------------------------------------------
                             3                          
                      256*log (2)                       

$$\frac{3 \left(\log{\left(8 \right)} - 2 i \pi\right) \left(\log{\left(8 \right)} + 2 i \pi\right) \left(\log{\left(8 \right)} + 4 i \pi\right)}{256 \log{\left(2 \right)}^{3}}$$

Численный ответ

x1 = 0.75

x2 = 0.75 + 2.2661800709136*i

x3 = 0.75 - 2.2661800709136*i

x4 = 0.75 + 4.53236014182719*i

График