4^x+2^x-24=0 (уравнение) Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼
Найду корень уравнения: 4^x+2^x-24=0
Решение
Подробное решение
Дано уравнение:( 2 x + 4 x ) − 24 = 0 \left(2^{x} + 4^{x}\right) - 24 = 0 ( 2 x + 4 x ) − 24 = 0 или( 2 x + 4 x ) − 24 = 0 \left(2^{x} + 4^{x}\right) - 24 = 0 ( 2 x + 4 x ) − 24 = 0 Сделаем заменуv = 2 x v = 2^{x} v = 2 x получимv 2 + v − 24 = 0 v^{2} + v - 24 = 0 v 2 + v − 24 = 0 илиv 2 + v − 24 = 0 v^{2} + v - 24 = 0 v 2 + v − 24 = 0 Это уравнение видаa*v^2 + b*v + c = 0 Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Корни квадратного уравнения:v 1 = D − b 2 a v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a} v 1 = 2 a D − b v 2 = − D − b 2 a v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a} v 2 = 2 a − D − b где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант. Т.к.a = 1 a = 1 a = 1 b = 1 b = 1 b = 1 c = − 24 c = -24 c = − 24 , тоD = b^2 - 4 * a * c = (1)^2 - 4 * (1) * (-24) = 97 Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a) v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a) илиv 1 = − 1 2 + 97 2 v_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{97}}{2} v 1 = − 2 1 + 2 97 Упростить v 2 = − 97 2 − 1 2 v_{2} = - \frac{\sqrt{97}}{2} - \frac{1}{2} v 2 = − 2 97 − 2 1 Упростить делаем обратную замену2 x = v 2^{x} = v 2 x = v илиx = log ( v ) log ( 2 ) x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}} x = log ( 2 ) log ( v ) Тогда, окончательный ответx 1 = log ( − 1 2 + 97 2 ) log ( 2 ) = − 1 + log ( − 1 + 97 ) log ( 2 ) x_{1} = \frac{\log{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{97}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = -1 + \frac{\log{\left(-1 + \sqrt{97} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} x 1 = log ( 2 ) log ( − 2 1 + 2 97 ) = − 1 + log ( 2 ) log ( − 1 + 97 ) x 2 = log ( − 97 2 − 1 2 ) log ( 2 ) = log ( 1 2 + 97 2 ) + i π log ( 2 ) x_{2} = \frac{\log{\left(- \frac{\sqrt{97}}{2} - \frac{1}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{97}}{2} \right)} + i \pi}{\log{\left(2 \right)}} x 2 = log ( 2 ) log ( − 2 97 − 2 1 ) = log ( 2 ) log ( 2 1 + 2 97 ) + iπ
График
-10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 -25000000 25000000
/ ____\
log\-1 + \/ 97 /
x1 = -1 + ----------------
log(2) x 1 = − 1 + log ( − 1 + 97 ) log ( 2 ) x_{1} = -1 + \frac{\log{\left(-1 + \sqrt{97} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} x 1 = − 1 + log ( 2 ) log ( − 1 + 97 ) / ____\
|1 \/ 97 |
log|- + ------|
\2 2 / pi*I
x2 = --------------- + ------
log(2) log(2) x 2 = log ( 1 2 + 97 2 ) log ( 2 ) + i π log ( 2 ) x_{2} = \frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{97}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} x 2 = log ( 2 ) log ( 2 1 + 2 97 ) + log ( 2 ) iπ
Сумма и произведение корней
[src] / ____\
|1 \/ 97 |
/ ____\ log|- + ------|
log\-1 + \/ 97 / \2 2 / pi*I
-1 + ---------------- + --------------- + ------
log(2) log(2) log(2) ( − 1 + log ( − 1 + 97 ) log ( 2 ) ) + ( log ( 1 2 + 97 2 ) log ( 2 ) + i π log ( 2 ) ) \left(-1 + \frac{\log{\left(-1 + \sqrt{97} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) + \left(\frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{97}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right) ( − 1 + log ( 2 ) log ( − 1 + 97 ) ) + log ( 2 ) log ( 2 1 + 2 97 ) + log ( 2 ) iπ / ____\
|1 \/ 97 |
log|- + ------| / ____\
\2 2 / log\-1 + \/ 97 / pi*I
-1 + --------------- + ---------------- + ------
log(2) log(2) log(2) − 1 + log ( 1 2 + 97 2 ) log ( 2 ) + log ( − 1 + 97 ) log ( 2 ) + i π log ( 2 ) -1 + \frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{97}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(-1 + \sqrt{97} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}} − 1 + log ( 2 ) log ( 2 1 + 2 97 ) + log ( 2 ) log ( − 1 + 97 ) + log ( 2 ) iπ / / ____\ \
| |1 \/ 97 | |
/ / ____\\ |log|- + ------| |
| log\-1 + \/ 97 /| | \2 2 / pi*I |
|-1 + ----------------|*|--------------- + ------|
\ log(2) / \ log(2) log(2)/ ( − 1 + log ( − 1 + 97 ) log ( 2 ) ) ( log ( 1 2 + 97 2 ) log ( 2 ) + i π log ( 2 ) ) \left(-1 + \frac{\log{\left(-1 + \sqrt{97} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{97}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right) ( − 1 + log ( 2 ) log ( − 1 + 97 ) ) log ( 2 ) log ( 2 1 + 2 97 ) + log ( 2 ) iπ / 1 \
| -------|
| 2 |
/ / ____\\ | log (2)|
| |1 \/ 97 || |/ -2 \ |
-|pi*I + log|- + ------||*log||----------| |
\ \2 2 // || ____| |
\\1 - \/ 97 / / − ( log ( 1 2 + 97 2 ) + i π ) log ( ( − 2 1 − 97 ) 1 log ( 2 ) 2 ) - \left(\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{97}}{2} \right)} + i \pi\right) \log{\left(\left(- \frac{2}{1 - \sqrt{97}}\right)^{\frac{1}{\log{\left(2 \right)}^{2}}} \right)} − ( log ( 2 1 + 2 97 ) + iπ ) log ( ( − 1 − 97 2 ) l o g ( 2 ) 2 1 )