4^x+2^x-24=0 (уравнение)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Неизвестное в уравнении :

Искать численное решение на промежутке:

[, ]

    Найду корень уравнения: 4^x+2^x-24=0

    Решение

    Вы ввели [src]
     x    x         
    4  + 2  - 24 = 0
    (2x+4x)24=0\left(2^{x} + 4^{x}\right) - 24 = 0
    Подробное решение
    Дано уравнение:
    (2x+4x)24=0\left(2^{x} + 4^{x}\right) - 24 = 0
    или
    (2x+4x)24=0\left(2^{x} + 4^{x}\right) - 24 = 0
    Сделаем замену
    v=2xv = 2^{x}
    получим
    v2+v24=0v^{2} + v - 24 = 0
    или
    v2+v24=0v^{2} + v - 24 = 0
    Это уравнение вида
    a*v^2 + b*v + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    v1=Db2av_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
    v2=Db2av_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    a=1a = 1
    b=1b = 1
    c=24c = -24
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (1)^2 - 4 * (1) * (-24) = 97

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    v1=12+972v_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{97}}{2}
    Упростить
    v2=97212v_{2} = - \frac{\sqrt{97}}{2} - \frac{1}{2}
    Упростить
    делаем обратную замену
    2x=v2^{x} = v
    или
    x=log(v)log(2)x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
    Тогда, окончательный ответ
    x1=log(12+972)log(2)=1+log(1+97)log(2)x_{1} = \frac{\log{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{97}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = -1 + \frac{\log{\left(-1 + \sqrt{97} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
    x2=log(97212)log(2)=log(12+972)+iπlog(2)x_{2} = \frac{\log{\left(- \frac{\sqrt{97}}{2} - \frac{1}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = \frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{97}}{2} \right)} + i \pi}{\log{\left(2 \right)}}
    График
    -10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.510.012.515.017.5-2500000025000000
    Быстрый ответ [src]
                 /       ____\
              log\-1 + \/ 97 /
    x1 = -1 + ----------------
                   log(2)     
    x1=1+log(1+97)log(2)x_{1} = -1 + \frac{\log{\left(-1 + \sqrt{97} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
            /      ____\         
            |1   \/ 97 |         
         log|- + ------|         
            \2     2   /    pi*I 
    x2 = --------------- + ------
              log(2)       log(2)
    x2=log(12+972)log(2)+iπlog(2)x_{2} = \frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{97}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}
    Сумма и произведение корней [src]
    сумма
                               /      ____\         
                               |1   \/ 97 |         
            /       ____\   log|- + ------|         
         log\-1 + \/ 97 /      \2     2   /    pi*I 
    -1 + ---------------- + --------------- + ------
              log(2)             log(2)       log(2)
    (1+log(1+97)log(2))+(log(12+972)log(2)+iπlog(2))\left(-1 + \frac{\log{\left(-1 + \sqrt{97} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) + \left(\frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{97}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)
    =
            /      ____\                            
            |1   \/ 97 |                            
         log|- + ------|      /       ____\         
            \2     2   /   log\-1 + \/ 97 /    pi*I 
    -1 + --------------- + ---------------- + ------
              log(2)            log(2)        log(2)
    1+log(12+972)log(2)+log(1+97)log(2)+iπlog(2)-1 + \frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{97}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{\log{\left(-1 + \sqrt{97} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}
    произведение
                            /   /      ____\         \
                            |   |1   \/ 97 |         |
    /        /       ____\\ |log|- + ------|         |
    |     log\-1 + \/ 97 /| |   \2     2   /    pi*I |
    |-1 + ----------------|*|--------------- + ------|
    \          log(2)     / \     log(2)       log(2)/
    (1+log(1+97)log(2))(log(12+972)log(2)+iπlog(2))\left(-1 + \frac{\log{\left(-1 + \sqrt{97} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{97}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)
    =
                                 /               1   \
                                 |            -------|
                                 |               2   |
     /          /      ____\\    |            log (2)|
     |          |1   \/ 97 ||    |/   -2     \       |
    -|pi*I + log|- + ------||*log||----------|       |
     \          \2     2   //    ||      ____|       |
                                 \\1 - \/ 97 /       /
    (log(12+972)+iπ)log((2197)1log(2)2)- \left(\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{97}}{2} \right)} + i \pi\right) \log{\left(\left(- \frac{2}{1 - \sqrt{97}}\right)^{\frac{1}{\log{\left(2 \right)}^{2}}} \right)}
    Численный ответ [src]
    x1 = 2.14549124615263
    x2 = 2.14549124615264
    График
    4^x+2^x-24=0 (уравнение) /media/krcore-image-pods/hash/equation/b/8e/fc26e43e0bd9a05063349a2a4293f.png