4^x+1=8 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4^x+1=8

Вы ввели

 x        
4  + 1 = 8

$$4^{x} + 1 = 8$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$4^{x} + 1 = 8$$
или
$$\left(4^{x} + 1\right) - 8 = 0$$
или
$$4^{x} = 7$$
или
$$4^{x} = 7$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$v - 7 = 0$$
или
$$v - 7 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = 7$$
Получим ответ: v = 7
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(4 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(7 \right)}}{\log{\left(4 \right)}} = \frac{\log{\left(7 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$

Быстрый ответ

      log(7) 
x1 = --------
     2*log(2)

$$x_{1} = \frac{\log{\left(7 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}}$$

      log(7)     pi*I 
x2 = -------- + ------
     2*log(2)   log(2)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(7 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

 log(7)     log(7)     pi*I 
-------- + -------- + ------
2*log(2)   2*log(2)   log(2)

$$\frac{\log{\left(7 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \left(\frac{\log{\left(7 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

log(7)    pi*I 
------ + ------
log(2)   log(2)

$$\frac{\log{\left(7 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

 log(7)  / log(7)     pi*I \
--------*|-------- + ------|
2*log(2) \2*log(2)   log(2)/

$$\frac{\log{\left(7 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} \left(\frac{\log{\left(7 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

(2*pi*I + log(7))*log(7)
------------------------
            2           
       4*log (2)        

$$\frac{\left(\log{\left(7 \right)} + 2 i \pi\right) \log{\left(7 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}^{2}}$$

Численный ответ

x1 = 1.4036774610288 + 4.53236014182719*i

x2 = 1.4036774610288

График