4^x=-5 (уравнение)

Найду корень уравнения: 4^x=-5

Вы ввели

 x     
4  = -5

$$4^{x} = -5$$

Подробное решение

Дано уравнение:
$$4^{x} = -5$$
или
$$4^{x} + 5 = 0$$
или
$$4^{x} = -5$$
или
$$4^{x} = -5$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$v + 5 = 0$$
или
$$v + 5 = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = -5$$
Получим ответ: v = -5
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(4 \right)}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = \frac{\log{\left(-5 \right)}}{\log{\left(4 \right)}} = \frac{\log{\left(5 \right)} + i \pi}{\log{\left(4 \right)}}$$

Быстрый ответ

      log(5)      pi*I  
x1 = -------- - --------
     2*log(2)   2*log(2)

$$x_{1} = \frac{\log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}$$

      log(5)      pi*I  
x2 = -------- + --------
     2*log(2)   2*log(2)

$$x_{2} = \frac{\log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}$$

Сумма и произведение корней

сумма

     log(5)      pi*I      log(5)      pi*I  
0 + -------- - -------- + -------- + --------
    2*log(2)   2*log(2)   2*log(2)   2*log(2)

$$\left(0 + \left(\frac{\log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)\right) + \left(\frac{\log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

log(5)
------
log(2)

$$\frac{\log{\left(5 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$

произведение

  / log(5)      pi*I  \ / log(5)      pi*I  \
1*|-------- - --------|*|-------- + --------|
  \2*log(2)   2*log(2)/ \2*log(2)   2*log(2)/

$$1 \left(\frac{\log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} - \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}\right) \left(\frac{\log{\left(5 \right)}}{2 \log{\left(2 \right)}} + \frac{i \pi}{2 \log{\left(2 \right)}}\right)$$

=

  2      2   
pi  + log (5)
-------------
       2     
  4*log (2)  

$$\frac{\log{\left(5 \right)}^{2} + \pi^{2}}{4 \log{\left(2 \right)}^{2}}$$

Численный ответ

x1 = 1.16096404744368 - 2.2661800709136*i

x2 = 1.16096404744368 + 2.2661800709136*i

График